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1、递推数列求通项公式递推数列求通项公式 前言前言l数列是高中知识的难点之一，每年高考的必考内容。自2010年新课改之后，数列问题难度有所降低。全国卷里数列，一般出现在17大题的位置，主要考察数列的通项以及前n项和相关问题，难度中等偏上。数列通项作为数列里的核心内容之一，是解决后续问题的关键。本课件讲述递推数列求通项常见方法，基本可以解决90%的数列通项问题。希望同学们能认真掌握下来。策略一览策略一览l公式法l累加法、累积法l利用 和 的关系l构造法l迭代法、两边取对数法l两边取倒数法nans类型一：公式法类型一：公式法(等差、等比数列等差、等比数列)1、等差数列2、等比数列例例.an的前的前n项
2、和项和Sn=2n21，求通项，求通项an类型二：利用类型二：利用a an n与与S Sn n的关系的关系解：当解：当n=1时时,a1=1 当当n2时，时，an=SnSn1=(2n21)2(n1)21=4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2,)*nN11,1,2nnnSnaSSn因为因为4*1-21,不满足上式不满足上式 例：已知例：已知an中，中，a1+2a2+3a3+nan=3n+1,求通项求通项an a1+2a2+3a3+nan=3n+1 注意注意n的范围的范围 a1+2a2+3a3+(n1)an1=3n（n2）nan=3n+13n=2
3、3n23nnan=（n2）两式相减得：两式相减得：an=9 (n=1)23nn（n2,）*nN解：当解：当n=1时时,a1=9 9132例：在例：在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n(n2),求通项求通项an.练：练：111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,证证明明：11223343221 1 2 3 .3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1)=1+2 an 得得类型类型三三：累加法累加法，形如，形如)(1nfaann例：例：12,3,.nnnnnaaaaa 1 1
4、已已知知中中，求求通通项项练习：练习：122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项 1111234123123423221(-1)23211 2 3(-1)21(-1)2 333,3,3,3 3,3-13 3333=2 3=2 3 2 3解：，将这个式子相乘得：nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnn nnaaaaaaaaaaaaaaaanaaa 类型四：累乘法，形如类型四：累乘法，形如)(1nfaann例：例：111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足,求,求 11-1111 21 121 12(1)1 2 1 112+111 2221解：是以为
5、首项，为公比的等比数列nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa 12,3+2,.1练习:已知中，求通项nnnnaaaaa 11()()1nnnnaqaddatq at tq 对于型数列，可用构造法转化为类型五、构造法类型五、构造法 形如形如1nnaqad形如形如1111111*23,12(1),22363,20,6,23(1)636,1010 25 25 236,nnnnnnnnnnnnnnnnaan aaCn DaC nD C DaaCnCDanCCDDanbanbbbannN 使用待定系数法是常数所以令且易知显然 是等比数列,1nnakabn 通项公式求例：nnnaanaa,1,3
6、2111nnaqad142(2,3,4,)nnnaan 思思路路鉴鉴赏赏：解解法法一一（构构造造1 1）142nnnaa 112122nnnnaa 1112(1)22nnnnaa 法法二二（构构造造2 2）1124(2)nnnnaa 142nnnaa 形如形如1nnnakab例：已知数列 中，求数列 通项公式 na nannnaaa24,211练习：练习：1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足:求求通通项项公公式式.11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数
7、列列（）1()knnaA ak为常数法（1）：迭代法11211211111111lg2()()*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2(),lglg2(),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN两边取对数,有根据对数的性质有令易知是等比数列因此11212118134122112nnaaaaannnn类型六、形如类型六、形如11211211111111lg2()()*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2(),lglg2(),22102,nnnnnnnnnnnnn
8、nnnnnnaaaaaaaaabababbaanN两边取对数,有根据对数的性质有令易知是等比数列因此法（2）：两边取对数例例8：111,21nnnnnaaaaaa 数数列列满满足足:求求通通项项公公式式类型七、取倒数法类型七、取倒数法 形如形如1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列1111(1)22-1 2-1nnnnaaan 类型八、相除法类型八、相除法 形如形如11nnnnaapaa例：例：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211
9、-211545 -1(-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）通项公式求法通项公式求法 类型 方法l等差、等比 公式法l已知Sn或Sn与an关系 通用公式法l形如 累加法l形如 累乘法l形如 待定系数法l形如 取对数法)(1nfaann)(1nfaanndkaann1dnkaann1nnnbkaa11nnkaadpakaannn11形如 取倒数法构造辅助数列1：1215,2,6103-311(1);2(2)(3).nnnnnnaanN naxa xaanS 设设数数列列若若对对任任意意的的二二次次方方程程都都有有根根、，且且满满足足求求证证：是是等等比比数数列列求求通通项项；求求前前 项项和和 课后课后 练习练习2：11,3,2 (2)1.nnnnnnaaaS SnSa 已已知知求求证证：是是等等差差数数列列，并并求求公公差差；求求的的通通项项公公式式 24,1,3,.nnnaaaaaa n n+2 2n n+1 11 12 23 3.在在中中，a a且且 求求后记后记l根据历年高考数列部分的命题总结出以上数列通项公式求法。在实际做题中，这些通法互相配合使用。做题时注意观察题目，看清要证明什么，属于哪种类型，选择适当的方法解决问题。
