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1、专题八 数学思想方法第3讲 分类讨论思想思 想 方 法 概 述热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割或分割)成若干个基成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综或综合性问题合性问题
2、)分解为小问题分解为小问题(或基础性问题或基础性问题)，优化解题思，优化解题思路，降低问题难度路，降低问题难度.2.分类讨论的常见类型分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的项和公式
3、、函数的单调性等单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分
4、类讨论由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则分类讨论的原则(1)不重不漏不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推
5、迟，决不无原能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论则地讨论.4.解分类问题的步骤解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 热点三 由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论(1
6、)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等数，三角函数的定义域等.思维升华变式训练1答案C(2)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snpn1(p是常数是常数)，则，则数列数列an是是()A.等差数
7、列等差数列B.等比数列等比数列C.等差数列或等比数列等差数列或等比数列D.以上都不对以上都不对解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当当p1且且p0时，时，an是等比数列；是等比数列；当当p1时，时，an是等差数列；是等差数列；当当p0时，时，a11，an0(n2)，此时，此时an既不是既不是等差数列也不是等比数列等差数列也不是等比数列.答案D热点二 由图形位置或形状引起的讨论解析画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域(如图如图).当当x1时，时，1y2，有，有2个整点；个整点；当当x0时，时，0y3，有，有4个整点；个整点；当当x1时，时，1y4，有，
8、有6个整点；个整点；当当x2时，时，2y5，有，有8个整点；个整点；所以平面区域内的整点共有所以平面区域内的整点共有246820(个个).答案20(2)设圆锥曲线设圆锥曲线T的两个焦点分别为的两个焦点分别为F1，F2，若曲线，若曲线T上存在点上存在点P满足满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线则曲线T的离心率为的离心率为_.解析不妨设不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若该圆锥曲线是双曲线，则有若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形
9、的特征进行分变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化形状变化.思维升华变式训练2 答案D解析若若PF2F190，则则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，若若F2PF190，则则|F1F2|2|PF1|2|PF2
10、|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得解得|PF1|4，|PF2|2，例3(2014四川改编四川改编)已知函数已知函数f(x)exax2bx1，其中其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数为自然对数的底数.设设g(x)是函数是函数f(x)的导函数，求函数的导函数，求函数g(x)在区间在区间0,1上的最小值上的最小值.热点三 由参数引起的分类讨论解由由f(x)exax2bx1，有有g(x)f(x)ex2axb.所以所以g(x)ex2a.因此，当因此，当x0,1时，时，g(x)12a，e2a.所以所以g(x)在在0,1上单调递增，上单调递增，因此因此g(x)在在0,1上的最小值是上的最小
11、值是g(0)1b；因此因此g(x)在在0,1上的最小值是上的最小值是g(1)e2ab；所以函数所以函数g(x)在区间在区间0，ln(2a)上单调递减，在区上单调递减，在区间间(ln(2a)，1上单调递增上单调递增.于是，于是，g(x)在在0,1上的最小值是上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.g(ln(2a)2a2aln(2a)b；g(1)e2ab.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起此种题目为含参型，应全面分析参数变
12、化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏准明确，不重不漏.思维升华变式训练3(1)若函数若函数g(x)过点过点(1,1)，求函数，求函数f(x)的图象在的图象在x0处的切线方程；处的切线方程；所以所求的切线的斜率为所以所求的切线的斜率为3.又又f(0)0，所以切点为，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为故所求的切线方程为y3x.(2)判断函数判断函数f(x)的单调性的单调性.当当a0时，因为时，因为x1，所以，所以f(x)0，故故f(x)在在(1，)
13、上单调递增上单调递增.故故f(x)在在(1，1a)上单调递减；上单调递减；故故f(x)在在(1a，)上单调递增上单调递增.综上，当综上，当a0时，函数时，函数f(x)在在(1，)上单调上单调递增；递增；当当a1和和0a1的讨论；等比数列中的讨论；等比数列中分公比分公比q1和和q1的讨论的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性
14、引起的讨论；的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直分存在和不存在，直线截距式中分线截距式中分b0和和b0的讨论；轨迹方程中含参数时的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.真题感悟 押题精练真题与押题12真题感悟3当当B 时，根据余弦定理有时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以所以AC ，此时，此时ABC为钝角三角形为钝角三角形,符合题意；符合
15、题意；当当B 时，根据余弦定理有时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以所以AC1，此时，此时AB2AC2BC2，ABC为直角为直角三角形，不符合题意三角形，不符合题意.故故AC .答案B12真题感悟32.(2013安徽安徽)“a0”是是“函数函数f(x)|(ax1)x|在区在区间间(0，)内单调递增内单调递增”的的()A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件12真题感悟3解析当当a0时，时，f(x)|(ax1)x|x|在区间在区间(0，)上单调递增；上单调递增；当
16、当a0时，结合函数时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在的图象知函数在(0，)上先上先增后减再增，不符合条件，如图增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所示.所以，要使函数所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在在(0，)上单调上单调递增只需递增只需a0.即即“a0”是是“函数函数f(x)|(ax1)x|在区间在区间(0，)内单调递增内单调递增”的充要条件的充要条件.答案C12真题感悟33.(2014广东广东)设集合设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合，那么集合A中满足中满足条件条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个的元素个数为数为()A.60 B.90C.120 D.13012真题感悟3解析在在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可的可能情况有能情况有“一个一个1(或或1)，四个，四个0，有，有 2种；种；两个两个1(或或1)，三个，三个0，有，有 2种；种；一个一个1，一个
