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1、7.1第7章 平面弯曲内力7.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例7.2 平面弯曲内力平面弯曲内力剪力与弯矩剪力与弯矩7.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图7.4 弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间的关系小结小结7.27.17.1 平面弯曲的概念与实例 弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。例如：火车轮轴受力后的变形；例如：火车轮轴受力后的变形；工厂车间里的行车受力后的变形；工厂车间里的行车受力后的变形；还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变形。形。7.1.1 7.1.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲
2、的概念与实例 弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。7.3 平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面（梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线，（梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线，且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横向外力、力偶、
3、支座反力等）都位于梁的某一纵向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一纵向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为平面弯曲。平面弯曲。梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁梁。7.17.1 平面弯曲的概念与实例 7.4 1.1.简支梁简支梁 梁的一端为活动梁的一端为活动铰支座，另一端为固定铰支座。铰支座，另一端为固定铰支座。2.2.外伸梁外伸梁 梁的一端或两梁的一端或两端伸出支座之外的简支梁。
4、端伸出支座之外的简支梁。3.3.悬臂梁悬臂梁 梁的一端为固梁的一端为固定端支座、另一端自由。定端支座、另一端自由。根据支座对梁约束的不同特点（支座可简化为三种形式：活动铰支根据支座对梁约束的不同特点（支座可简化为三种形式：活动铰支座、固定铰支座、固定端支座），简单的梁有三种类型：座、固定铰支座、固定端支座），简单的梁有三种类型：一、梁的计算简图一、梁的计算简图 简化为一直杆并用梁的轴线来表示。简化为一直杆并用梁的轴线来表示。二、梁的分类二、梁的分类 7.1.2 7.1.2 梁的计算简图及分类梁的计算简图及分类 7.17.1 平面弯曲的概念与实例 7.5 又如：为了减少悬臂梁的变形和提高其强度，
5、在梁的自由端增设一又如：为了减少悬臂梁的变形和提高其强度，在梁的自由端增设一活动铰支座后，梁也就成了活动铰支座后，梁也就成了一次超静定梁一次超静定梁。例如：为了减少简支梁的变形和提高其强度，在梁的跨中增设一活例如：为了减少简支梁的变形和提高其强度，在梁的跨中增设一活动铰支座后，梁就成了动铰支座后，梁就成了一次超静定梁一次超静定梁。这三种梁承受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故一般这三种梁承受载荷后的支座反力都可由静力平衡方程求得，故一般将它们统称为将它们统称为静定梁静定梁，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目，如梁的支座反力的数目多于静力平衡方程的数目的梁，用静力平衡方程无法求得
6、全部支座反力，这类梁称为的梁，用静力平衡方程无法求得全部支座反力，这类梁称为超静定梁超静定梁。7.17.1 平面弯曲的概念与实例 7.67.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 7.2.1 7.2.1 截面法求内力截面法求内力 问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？例：欲求图示简支梁任意截面例：欲求图示简支梁任意截面1-11-1上的内力。上的内力。1.1.截开：截开：在在1-11-1截面处将梁截分为左、右两部截面处将梁
7、截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。分，取左半部分为研究对象。2.2.代替：代替：在左半段的在左半段的1-11-1截面处添画内截面处添画内力力 、，(由平衡解释由平衡解释)代替右半部分代替右半部分对其作用。对其作用。SFM7.73.3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。由由 01SAyFFFF得得 1FFFAS 由由 0)(1MaxFFMAXC得得 )(1axFFMAX 如取右半段为研究对象，同样可以求得截面如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-11-1上的内力上的内力 和和 ，但，但左、右半段求得的左、右半段求得的 及及
8、 数值相等，方向（或转向）相反。数值相等，方向（或转向）相反。SFMSFM7.2.2 7.2.2 剪力和弯矩剪力和弯矩 ：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面：是横截面上切向分布内力分量的合力，因与截面1-11-1相切，故称相切，故称为截面为截面1-11-1的剪力。的剪力。SF ：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且：是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面与截面垂直，故称为截面1-11-1的弯矩。的弯矩。M7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 7.8 由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，由于取左半段与取右半
9、段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。剪力和弯矩的正负符号做适当规定。剪力的正负：剪力的正负：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。弯矩的正负：弯矩的正负：使微段梁产生上凹下凸弯曲使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。变形的弯矩为正，反之为负。归纳剪力和弯矩的计算公式：归纳剪力和弯矩的计算公式：7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 7.9FFS（截
10、面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。）（截面上的剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。）CMM（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。）矩的代数和。）公式中外力和外力矩的正负规定：公式中外力和外力矩的正负规定：剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。以上可归纳为一个简单的口诀以上可归纳为一个简单的口诀“左上、右下为正左上、
11、右下为正”。7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 7.10 弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力（或外力弯矩公式中外力矩的正负规定：截面左段梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力（或外力偶）偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或右段梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之为负。以上也可归纳为一个简单的口诀为负。以上也可归纳为一个简单的口诀“左顺、右逆为正左顺、右逆为正”。例例7.1 7.1 简支梁如图所示。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。简
12、支梁如图所示。试求图中各指定截面的剪力和弯矩。AFBF 解解 （1 1）求支反力）求支反力 设设 、方向向上。方向向上。由由 0AM及及 0BM （2 2）求指定截面的剪力和弯矩）求指定截面的剪力和弯矩 7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 可求得可求得kNFkNFBA10107.11kN101ASFF（由（由1-11-1截面左侧计算）截面左侧计算）7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩（由（由1-11-1截面左侧计算）截面左侧计算）1011011kNmFMA（由（由2-22-2截面左侧计算）截面左侧计算）212102kNFFFAS（由（由2-22-2截面左侧计算）截面左侧计算）10011001
13、2kNmFFMA（由（由3-33-3截面右侧计算）截面右侧计算）2102423kNFqFBS（由（由3-33-3截面截面右侧计算）右侧计算）821012442123kNmFqMMBe（由（由4-44-4截面右侧计算）截面右侧计算）2102424kNFqFBS（由（由4-44-4截面右侧计算）截面右侧计算）122101242124kNmFqMB7.12 从以上从以上1-11-1、2-22-2截面的剪力值可以看出，截面的剪力值可以看出，在集中力在集中力 作用处的两侧截面的作用处的两侧截面的剪力值将发剪力值将发生突变，生突变，突变值就等于该集中力突变值就等于该集中力 的大小；的大小；而从而从3-33
14、-3、4-44-4截面的弯矩值可以看出，在集截面的弯矩值可以看出，在集中力偶中力偶 作用处的两侧截面的作用处的两侧截面的弯矩值将发生弯矩值将发生突变突变，突变值就等于该集中力偶矩，突变值就等于该集中力偶矩 的大小。的大小。FeMeMF7.27.2 平面弯曲内力剪力与弯矩 7.137.3.1 7.3.1 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐标标 表示横截面的位置，则其剪力和弯矩都可以表示为表示横截面的位置，则其剪力和弯矩都可以表示为 的函数。的函数。xx 即：即：)()(xMMx
15、FFSS将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。将其称为梁的剪力方程与弯矩方程。7.37.3 剪力图与弯矩图 列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括列内力方程时应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。7.3.2 7.3.2 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴线的分布为了一目了然地表示出梁的各横截面上剪力与弯矩沿梁轴线的分布7.14x)(xFFSS)(xMM 情况，通常可以情况，通常可以 为横坐标，以各内力为纵坐标
16、，绘出为横坐标，以各内力为纵坐标，绘出 和和 的函数图象，将其称为剪力图与弯矩图。的函数图象，将其称为剪力图与弯矩图。从剪力图与弯矩图上可以很方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，从剪力图与弯矩图上可以很方便地确定梁的最大剪力和最大弯矩，从而迅速确定梁危险截面的位置。从而迅速确定梁危险截面的位置。绘制剪力图与弯矩图的最基本方法是列剪力方程与弯矩方程绘制内绘制剪力图与弯矩图的最基本方法是列剪力方程与弯矩方程绘制内力图。力图。例例7.2 7.2 如图所示简支梁如图所示简支梁AB ，受向下均布载荷，受向下均布载荷 作用。试列出梁的作用。试列出梁的剪力方程与弯矩方程。并画出剪力图与弯矩图。剪力方程与弯矩方程。并画出剪力图与弯矩图。q7.3 7.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图7.157.3 7.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图解：解：1 1）求支反力）求支反力2qlFFBA由对称关系，由对称关系，。2 2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 )0(2)(lxqxqlqxFxFAS（a）)0(222)(2lxxqxqlxqxxFxMA（b）3 3）绘制剪力图与弯矩图）绘制剪力图与弯矩图 7.
