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1、理想流体力学大作业学生姓名：学号：2023年10月HessSmith方法计算物体附加质量摘要：本文运用HeSS-SmiIh方法计算了圆球、椭球和圆柱的附加质量系数以及椭球并行的干扰效应。同时，文章分析了网格变化对计算值的影响趋势。本文使用mallab语言对圆球、椭球与圆柱的模型进行了网格有限元的划分，得到各个单元的节点坐标，然后利用HeSS-Smith方法对圆球、椭球及并行椭球的附加质量系数进行计算及分析。关键字：边界元；Hess-Smilh:附加质量系数一、物理背景Hess-Smith方法是一种计算任意三维物体势流的方法，该方法由美国的Hess和Smith两人于20世纪60年代提出。Hess
2、-Smith方法又称为分布奇点法，作为一种边界元方法，它用许多平面四边形或三角形外表单元来表示物体外表，并在每个单元上布置强度未知的源，然后在物体外表的某些考察点上满足法向速度为零的物面边界条件，得到求单元源密度的线性代数方程组。求解方程组得到源密度分布，进而可求流场内任意点的速度、压力等物理量。二、理论依据2.1分布源模型的建立S为无界流中的物体外表，来流为均匀流，在无穷远处流体的速度为：%=%+匕J0（,y,z）为定常速度势，并在物体外部空间域中满足拉普拉斯方程，在物面上适合不可穿透条件，在无穷远处，应该与均匀来流的速度势相同。即V2=0（物体外）（）肘=O物面S上）On其中，单位法线向量
3、指向物体内部。在速度势中分出的均匀来流项，记=XK+y匕+z%+0O这里的0是扰动速度势，0应适合以下定解条件:vV=o（在物体外）包=-匕（在物面Sb上）（）Q（无穷远处）用Rpq表示点P和点q之间的距离，根据格林第三公式，当p点位于物面s外部和远方控制面C的内部之空间域时，有如下公式：MTJyWq)1/、e/1、京八；1(q)(-)ivOdgRM3%R叫由远方边界条件可知，远方封闭控制面S,上的积分趋于零，从而上式化为:皿、刊破喧/W）又由式O可得：尹（P）=I胤9）-T-Kn4沐。4裸购RM4管Rm得到混合分布模型，为了得到单一分布模型表示的扰动势，在物体内部域中构造一个适宜的内部解外。
4、于上述物体外部的点P，函数1/R,在物体内部域中没有奇点，在物体内部域中对函数0和1/R修用格林第三公式，得:将（）与（）相减，得：取下式定解条件中的例：那么式0成为：其中，”,=0(在“内部)0e=e,(在Sb)02.2分布源密度的求解式0中右端分布源的法向导数极限由两局部组成，一局部是P点附近小曲面e的奉献,另一局部是物面其余局部的奉献。法向指向取向物体内部，小曲面的奉献为2(p),那么有如下关系式：再结合物面条件0,得到02m5)+JJb(q)/；ds-Vrj-n这就是分布源密度b所适合的线性积分方程。把积分方程()转换成线性代数方程组，即用离散量代替连续变量。把物面S分成N小块,记S=
5、E30=1J用平面四边形或三角形来近似代替小曲面A)。具体做法如下，取第j小块的四个顶点坐标之算术平均值，得到中心点PJ的坐标。计算对角线向量的向量积(指向与曲面法线指向相符合)，用,表示该方向上的单位向量，形成以%为法线且通过中心点Pj的平面，再把四个顶点向该平面作投影，以四个投影点为顶点组成平面四边形A0,用AQ,代替原来的小曲面As,称AQ,为单元。通常把小范围内的分布源密度Cr作为常数，因此只要分割不太粗，可以认为Cr在单元Q,上为常数，记作b,从而胆3/卜卜片bU叫0因此物面S上的积分可以用N个平面四边形(三角形)上积分之和来近似，即函片鸣WCFJJg小1IrF尸Jb尸SUnPI附/
6、AQyPlM，上式左端的未知量b(q)是连续型变量，而上式右端的未知量是N个离散量b/j=lN)。为了求解这N个未知数，须要N个方程。取积分方程0中的动点.为N个单元AQJ的中心点P(j=lN),称之为控制点，即控制物面条件使之成立的点。用近似式(2.2.5)代替积分方程(2.2.2)的左端，便可以写出/的N阶线性代数方程组：V=IJ当计算出影响系数旬后，即可解线性方程组得到分布源密度。2.3速度势与附加质量的求解根据速度势在控制点P处的值，由公式:pi)cijjO根据2.2得到的分布源密度刁，求解线性方程组O可得速度势的值。物体的附加质量，时,表示物体沿i方向运动引起的/方向的附加质量，公式
7、如下：(r-l,2,6)根据所求得的速度势的值可计算处附加质量的值。三、数值模型及参数计算3.1数值模型要求解流场中物体外表的速度势分布，需要先将物体的外外表进行网格划分。经过网格划分以后，原来的物体连续外外表被离散为NXM个相对独立的小平面，这些小平面构成了求解该问题的数值模型。Hess-Smith的根本思想是将连续曲面的积别离散为小单元来简化计算，其计算思路核心在于解该方程组：a/b/=也，通过求解线性方程得到b/(i,j=l,2,NM)。对于不同的计算目的，只需要改变控制面条件，即改变也来实现。得到bj后，进而由双6卜zJq求0及附加质量，其中:为求%，令人=-匕。%.，那么求得6。故而
8、ZMu=JJe|QS=Xel(月)i(E)SS,同理可得mo3.2参数计算3.2.1计算.对于球面：P=(x,y,z)对于椭球面：设n1=(,y,Z),%=(%,%Z2)，那么易知A=%=，zl=z2=z,工不=与k，故为 aM,g=1即为球)对于圆柱面：在圆柱顶面上%=(T,o,o),同理在其底面上有%=(,o,o),侧面上那么有与0,CoS(。H)t-sin( H)3.2.2计算旬对于上述几何模型中的四边形上均匀分布奇点的诱导速度公式计算，首先将四边形上的分布源密度取为1,四边形四个顶点逆时针方向排列，顶点Pi的坐标为(。，i,0),其中坐标系on，的原点为四边形形心，平面o即为四边形平面
9、，那么需计算如下三个积分式：各积分式的计算公式为：在本几何模型中，需要将世界坐标系转换到局部坐标系中，查阅相关文献可知，当给定物体上的3个不共线的点6a,y,Zj)(i=l,2,3),即可建立局部坐标系。其中局部坐标系的原点为点4，X轴的正向为64的方向，Z轴的正向为片6xA的方向，F轴的正向为(6x6A)x6鸟的方向。设XtKZ轴的单位矢量分别为子,K它们在世界坐标系中的方向余弦分别用12儿Q = 1,2,3)表示。对X轴，/,%2,U3可按下式给出：f=3=m|+hi2+m11/.J，k为世界坐标系3根轴的单位矢量。I矩阵厂1就是由世界坐标系到物坐标系的坐标变换矩阵。经过坐标转换可得每个网
10、格推元的Sx、Sy、Sz,然后得到世界坐标系下的S,即%由于编程实现上述过程非常繁复，现采用一种更为简便方法的求解%当W J时， = JjddS,=f也.阳r片日当i=)时，ajj=2zr,从而求得阳的系数矩阵。3.2.3计算&由G=JJLL可得40%当十时，G产丁眼PiPj当i=j时，如图，设E位于AQ上，取一小圆,转换为极坐标积分：/=-U5v=-rdr=2乃/?=2(项N(广义积分收敛)c9&OO厂故可近似C)=2(痴s,得到系数矩阵J。3.2.4计算mu、m33令力=-匕w(月)，那么%=JnldS=Eel(E)n1(q)3S,同理求得，/。对于双椭球体,如下列图所示，只需将第二个椭球
11、的单元标记为(NXM+1,2NM)即可。方程组的形式不变，在计算mil或m33时分别对两个椭球面的单元进行积分即可分别得到mlla、mllb、m33a、m33b四、几何模型对于连续的积分方程，通常的数值处理是转换成线性代数方程组，即用离散量代替连续变量。在几何建模上，就是将物面S分成N小块，记为采用平面四边形或三角形近似代替小曲面ASj。4.1球面网格划分4.1.1网格划分使用球坐标对球体进行网格划分，取球体半径R=I,以球心0为原点建立坐标系如下列图所示取XoZ平面上的圆，圆上任意一点与X轴的夹角范围为0-兀，划分N份，每相邻两份夹角为3=N,在球体上以球心为圆心，划分N条纬线。纬线为在球体
12、上的同心圆，取任意同心圆，圆半径为r,将圆划分M份，每相邻两份之间夹角为O=2M,N个同心圆都划分M份，形成M条经线。由纵横交错的线将球体划分形成网格。取球体任意网格交点A,设坐标为A(x,y,z),由球坐标可将A坐标表示为：在matlab中根据以上网格划分原理划分网格，得到的球体几何模型为：4.1.2节点坐标取球体面上任意一个小网格，在小网格ABCD上，A标记为A(i,j),即纵向第i个点，横向第J个点，那么A一.v)(+nj=1,2,.,N+1j=l,2,M+1BCD可由A(i,j)表示，如上图所示。即可得到MXN个小网格单元，故有MXN个控制点p。对于顶点处，单元为三角形：砌=g(A+B
13、+C)或是P片；(4+SD)4.1.3球面网格小单元面积对于四边形单元，AB/CD,由对称性可知，ABCD为等腰梯形。故ABCD为平面。ABCD的面积为5S。图解如图：梯形面积公式为：其中梯形高近似为腰长计算，得如下公式：EF的长度计算公式如下：梯形面积可表示为：4.2椭球面网格划分4.2.1网格划分同球形网面划分类似，得到NXM个小网格单元。与球面不同的是，沿X轴方向延长。由matlab划分网格得到的椭球几何图形如下列图所示。4.2.2节点坐标长短轴比为d。椭球面上任意网格交点坐标为：那么椭球体外表每个单元的控制点坐标为：4.2.3网格单元面积在O-XYZ坐标系中，椭球体的剖面图如下列图所示
14、，易知：椭球面可由球面沿X轴延伸得到，即椭球面上某一小网格面ABCD的AC边延长为12,由球面小网格面可知，面积为原来的|2/h。即：即得小网格面积。4.2.4面积公式验证由3.2.3节得到了每个网格单元面积，由此可以得到椭球体外表积的近似值，为了减少计算过程中的误差，查阅相关文献后得到椭球体外表积计算公式，然后验证两者误差。222设三椭球面方程的方程为：二+与+=1。其面积为：这里的“=arcsinJaC,k=,又F(m,)=fl=d,Q7三7、，Ksin.E(,&)=JZi而如分别为第一种和第二种椭球积分。O对于a=db=dc,M=k=0,那么F=I,E=Uo2当d=5,N=40,M=32时，计算出的单元面积和SZ6.33754乃，理论值S=632764r相对误差为q!0156%,误差很小，说明公式的正确性与精确性。4.3圆柱面网格划分4.3.1网格划分使用柱坐标对圆柱体进行网格划分，取圆柱底面半径R=I,以底面圆心O为原点建立坐标系。取yoz平面上的圆，圆上任意一点与y轴的所称角度范围为0-2兀，划分K份，每相邻两份夹角为=
