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1、实数分数正分数 负分数无理数.正无理数负无理数无限不循环小数实数与二次根式拔高讲义模块一实数的概念及其分类1 .实数的概念实数：有理数和无理数的统称.2 .实数的分类正整数整数O有理数有限小数或无限循环小数负整数【例1】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.其中错误的说法的个数是（）41B.2C.3D.4模块二平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于品那么这个数叫做d的平方根，记作五，正数有两个平方根,负数没有平方根，。的平方根是0算术平方根：正数a的正平方根，记作&
2、；0的算术平方根为0立方根：如果一个数的立方等于2那么这个数叫做a的立方根，记作指，正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根，。的立方根是0.【例2】设。是整数，则使场为最小正有理数的。的值是.【例3】已知。-2的平方根是3,勿+b+7的立方根是2,求心+可的算数平方根.模块三二次根式的基本概念及化简二次根式概念二次根式的概念：形如V(。之。)的式子叫做二次根式.二次根式的基本性质：(1)而之。)双重非负性；(2)(G)2=(40)；(3)4a=a=a”)1 1-a(巩固】当X时,x2 -2x + 4一 有意义.(1 4【巩固】如果式子尸Vl-a根号外的因式移入根号内，化简的结果为()A.y
3、ji-ciB.y/a1c,yja1d.-Jl-【例6】化简：2-4x+4+1-a其中IVXV2(2)*Jct-bycb(b-a)+Z-d,模块四二次根式的运算式子&()叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础.()afcbc=(ab)Jc(cO).(2)&=(aG,bO).G=F(3)4byib(“O,bO)(4)(G)2=G(0)同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、
4、字母化、拆项相消、分解相约等.M (R + 6)(耳 + ) i + i4+15+T-2x2-2V=J+222【例7】己知*5x-4V4-5x,则X+y=.总结：二次根式有如下重要性质：(1) ,说明了&与同、一样都是非负数;(2) ()2=),解二次根式问题的途径一一通过平方，去掉根号有理化;(3) 揭示了与绝对值的内在一致性.著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题.I一【例8】化简N+*(+以，所得的结果为(),11,11,111+1+1+A.nn+B,nn+C.+11计算:#+46+3应M+11-ii-?4947 474
5、91_(3) 3+35五+3正75+573j1-加-2而+3-+18(4) 5+2j3+1【解析】若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口.模块五化简求值a+b-2Ja-4b-2=3Jc-3-c-5【例10】已知2,求+6+c的值.5+l212/T-ZWdinn+nffll设有T的整数部分为例小数部分为，求2的值.=_1【例12】已知0+1,求代数式2+3x-5的值.【例13】X 已知&+1,求代数式的值.2m+-Jtnn若?0,0,且而（而+5赤）=3向而+56），求+T的值户县IX=上”【例
6、14】若2,求X4的值.f（=L一L-L例52+2x+1+V2-I+yx2-2x+t求/+f（3）+/（2011）的值；模块六多重二次根式双重二次根式：形如F二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式.多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式,双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法.【例16】化简：+2#）94例17】化简：（1）79-214J16-4f?【巩固】化简：（1）卜至小23-6/0 + 46-2【例18】化简：卜川+2下+,4+历+2正巩固化简：13+25+27+235【例19】求根式lJz+H五厂的值.
7、【例20】若同表示实数。的整数部分，则IjI6-6.等于().A.1B.2&3D.4.【例21】计算h2+5-26+7-212+9-20+ll-23O+13-242+15-256+717-272巩固求Q+1)(2、+1)(24+1)(2、+1)(2=+1)+1的值模块七与二次根式有关的最值问题【例22】代数式+一+4一2的最小值为()A.0B.1+2C.1D.不存在的【例23】设My都是正整数，且使4T16+Jx+I=y,则y的最大值是【例24】若丁+V=20,则而=7+J23-产的最大值是Jl+Y+/-J1+丁4【例25】若*。，求X的最大值是.【例26】实数小1满足一次+1+,367勿+2
8、=1一|斗一忸一21,则后+6的最大值为.【例27】函数f=&晅+Jd)2+4的最小值为.【练习U若”R=i+,则J(D2等于()A. I B.1C. 1 D. -1【练习2】计算：下列三个命题:若。，是互不相等的无理数，则3+。一万是无理数；若。，是互不相等的无理数,a-则鼠7是无理数；若。，夕是互不相等的无理数，则后+是无理数.其中正确命题的个数是()40B.1C.2D.3【练习3】已知“一百工，求V+3f-5x+3的值.1【练习4计算：2+123五+2百10099+99100【练习5】已知2OO23=2003y3=2004zjyz0,2002+200333+2OO4z3=22+2003+2004,221求JJz的值.1 计算(3+l)200,-2(3+l)20-2(3+l),w9+2011;._-I化简.1218()2(6-23-25+15)玛)5+12 .若=+l,计算共有2011层Ia的值.【解析】先计算几层，看一看有无规律可循.a=5/21,=显-1a2+lI49+=J?-1+2=2+l=tz2+=J2-1=-=y2-a,所以，不论多少层，原式a
