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1、题型4函数零点问题之分段分析法模型1 .设函数/(x)=x3-+皿-/内，记g(x)=KD,若函数g(x)至少存在一个零点，则实数用的取值范X围是()A.(-,e2+-B.(O,e2+-eeC.(e2+-,+D.(-e2-,e2+-eee【解析】解：./(x)=X3-2/+侬一/内的定义域为(0,+oo),又g()=，X函数g(x)至少存在一个零点可化为函数/(x)=3-2e+wx-加T至少有一个零点：即方程3_2ex2mx-Inx=0有解，r,.-X3+2ex2+lnx2zInx则n=-x2ex+,XX,_CI-Inx、1-Inx加=-2x+2e+r-=-2(x-e)+；;X2X2故当x(0
2、,e)时，加0,当x(e,+oo)时，WvO;则m=一9+2+妈在(0,e)上单调递增，X在(e,+)上单调递减，故4,-e2+2ee+-=e2+-;ee又当鼻0时，m=-X2+2ex+-,X,21故“e+e故选：A.2.设函数)=f-2夕-也+(其中e为自然对数的底数，若函数/(x)至少存在一个零点，则实数。的X取值范围是(A.(0,e2-B.(O,e2+-C.e2-,-)D.(302+leeee【解析】解：4k/(x)=x2-2ex-+a=Otxlil.，chvc,八、则a=-x+2ex(xO),x设h(x)=-X2+2ex+色,X4(x)=-x2+2ex,h2(x)=-,X.号(X)=L
3、坐，发现函数似4),九(X)在(O,e)上都是单调递增，在e,go)上都是单调递减，X二.函数力(X)=T2+2ex+蛆在(O,e)上单调递增，在e,+00)上单调递减，X故当X=e时，得h(x)ma=e2+-te.函数f(x)至少存在一个零点需满足a,hx,nax,即4,f+!.e故选：D.3.已知函数f()=妈一(其中e为自然对数的底数)至少存在一个零点，则实数。的取值范围X是()A.(-co,e2+-)B.(-00,e2+-C.e2-,+00)D.(e2-,-o)eeee【解析】解：4/(x)=-X2+2ex-a=0t即蛆=X2-2+。，XX令gW=妈,力(K)=X2-2ex+a,则函数
4、(x)=与函数ZZ(X)=犬-2ex+a至少有一个交点，XX易知，函数力(X)=X2-2ex+表示开口向上，对称轴为x=e的二次函数，1,-x-Inx._,函数g(幻的导函数glw=K-5=12芈，xx令g(x)O,解得Oe,二.函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,oo)上单调递减，g(x)w“=g(e)=J,e作出函数g(x)与函数(x)的草图如下，由图可知，要使函数g(x)与r)至少一个交点，只需z(x)m加,g(x)w,即/2/+Le解得%e2+-.e故选：B.4.若函数)=2ex+s-祇至少存在一个零点,则w的取值范围为()XA.(-co,e+-B.e2+-fco)C.(-co
5、,e+-D.e+-f+oo)eeee【解析】解:函数/(x)至少存在一个零点，x3-2ex2+mx-lnx八云初RnCInX七初.二0有解，即?=-x+2ex+有解,XX.C_I-Inx、-(Inx-Ine).m=-2x+2e+；=-2(x-e)+；,XXT当x(0,e)时，加0,也为关于X的增函数；当x(e,+)时，m,0,加为关于X的减函数.因此，画出函数y=-+%+也的图象如右图所示，X则若函数/(X)至少存在一个零点，则m小于函数y=-xz+2ex+-的最大值即可，X函数y=-x2+2ex+蛆的最大值为/+工Xe即“e2+e为自然对数的底数)，若函数F(X)至少存在一个零点，则实数的【解析】解：fx)=2x-2e-x令尸(X)=O得4=,当OVXVe时，,(x)0,.(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增，.当X=e时，/(x)起点最小值/(e)=-e2-+ate/(x)至少有1个零点,：,-e2-+,O,即w,3+L故答案为：(一00,e2+-.
