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1、定积分部分一、第一积分中值定理【定理】：设f(x)、g(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点J(a,b),使得f/(x)g(x)dx=(4)fg(x)dx。注意取g(x)=l即可以得到我们熟悉的积分中值定理。【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。二、一种含变量X的积分上限函数的求导公式1/(r)g(x)力=g(x)f(J)dt+g()f()JaJa三、函数和原函数之间的关系1、周期函数的原函数不一定是周期函数【举例】：y=cosx+l的原函数是y=sinx+x,不是周期函数。【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。(证明略)。2、奇函数的原函数组(即不定积分C取任何
2、值)都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。四、几个重要的广义积分结论1、e-pxdx=-(pJOpp+00W2、epxsinwxdx=-(p0；w0)J。p2+W-C尸-2fr2、Icux=V1JO24、J(lnx),tZx=(-1)/,11!五、周期函数的定积分技巧(可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题)设周期函数周期为T,周期函数为f(x)有：1、+,f(x)dx=(x)dx(周期函数任意一个周期内的积分是不变的)2、f(x)dx=nf(x)dx(n是正整数)3、设/)是以周期T为周期的周期函数，则它的积分上限函数F(X)=If(r)dr也是以T为周期的周期函数的充要条件
3、是：f(x)dx=0(即函数在一个周期长上的定积分为0)六、一个非常OP的定积分变换等式(处理一些复杂问题时常用)定理：(f(x)dx=Jf(a+-x)dx几何解释：曲线y=f(x)和y=f(a+b-x)关于直线”对称。七、一个定积分计算体积的公式f(X)在a,b上与X轴围成的曲边梯形(f(x)=O)绕y轴旋转一周的体积公式：V=2zrxfxdx(证明方法略)多元函数微积分部分一、二次极限和二重极限【定理】二重极限大家都知道，就是二元函数的极限。这里不介绍。二次极限的定义我们也不介绍没必要了解，只要知道二次极限的计算方法和它与二重极限的关系：二次极限的计算方法：求函数f(x,y)在点(x,y)
4、处的二次极限，则先将y固定，即求：Iimya,y)=g(y),再求Iimg(y),这样得到的答案为二次极限。注意二次极限有两个值，一个是先X再y得到的IimIim/(x,)，)=A,另一种是先y再X得到的IimIim/(x,y)=80现在再设二重极限Iim/(x,y)=C,现在叙述它们的关系：y)Q1、如果A、B都存在且AWB,二重极限C不存在。(常用定理)2、如果C存在且A、B中至少有一个存在，则二重极限C=(A、B中存在的那一个)。3、如果A、B、C均存在，则A、B、C均相等。4、如果A、B存在，但C存在与否并不知道，那么即使A=B,也不能判断C存在。【注】引入这个二次极限的处理是因为咱们
5、书上的二重极限求解方法经常涉及到放缩，放缩需要比较高的思维水平，难度较大。而二次极限的方法要简单一点，处理起来要快。二、多元函数几个概念之间的层次关系有极限.连续1可微J偏导数连续可偏导【注】：箭头都是单向的。没有箭头的两个概念之间，除了上层推下层以外，无相关关系。例如可偏导和有极限之间并没有必然关系。无穷级数部分一、数列中的斯托尔茨定理【定理】设数列yn单调递增，且IimyJ=欣，则当Iim/一”存在或为8时,有:【推论】1、若IimX”存在，则IimM+Z=IimS（数列前n项算术平均值的极限=数列nooTaOTg的极限）2、若IimZ存在且0,则limW（正项数列前n项的几何平均值的极n
6、oonooy限=数列的极限）3、若Iim存在且0,则Iim=IimZ111-HCX110Y11-XX【注】斯托尔茨定理可以用来计算一些难度较大的无穷级数的极限。二、P级数和交错P级数的收敛情况【注】：P级数和交错P级数常用在无穷级数问题处理之中，故在此做出分析：1、P级数1【公式】：Z-7【收敛情况：当pl时收敛，当pl时绝对收敛；当0p=l时条件收敛；当=0时发散。【注】：交错调和级数（-。1,二姑21三、积分审敛法【定理】设函数f（x）在l,+8）上非负且连续，则正项级数/（）与广义积分J）（X）dx有n=1相同的敛散性。【注】由于函数的定积分比数列的和更容易去求，所以积分审敛法适用于不太
7、好处理又不能求和后审敛的无穷级数的敛散性判断。四、正项级数里面常用的几个不等式关系（用来判断敛散性）【注】：下列级数都默认为正项级数。1、m“与收敛，且IXKlXOI,则绝对收敛。/1=0=08002、若SqI。发散，且IXI|/|,则2。/”也发散。71=0H=O【注】：这个定理是告诉我们，对于一个哥级数，比收敛的点更接近原点的点，也是收敛点。比发散的点更远离原点的点，也是发散点。这个定理可以用来快速判断一些点的敛散性。八、缺项的幕级数的收敛半径的确定方法【定理】若基级数缺项，即成如下形式：S%w+机是正整数，2是非负整数），则先H=O九、寡级数求和以及函数展开成箱级数中的几个常用级数和技巧
8、1、（1）先积分再求导-=(,d-)=(X=(-)(2)先求导再积分与卜腾灯UJ:辱Fk=J。笠r=-ln(l-jr)(-1X1).2、一些常见的累级数综合关系式（记住其中几个常用的就行了）夏克劳林级效Z形式造合范朋e*=l+jr三.弄方-OO，解近7一方+有一齐+*.2-OO+824CmrT-分全-专+Z=E(T),忌-8In(Ir)=Ir-奇专一In(Ir)N(-l)-lxl1*13I-Xr三-ixl三l-,-5+T三(-v-lxl(lx)*,=l*A4XX2人：A二,R)/0!-Ixl瘠点*=1的收敛性取决于4aranx=M一y方一亍rctarur(-1尸-lxl1J13r5ircsmz
9、=x23+24JW(2.-1)!xraraar-*Jo(2n)!2h1-lxlSkr=W_三*x+,r*为211)!-+8CKr=巧J*chaS-8微分方程部分一、伯努利方程的通解形式(最好掌握推导方法，掌握不了就背这个通解结论)yi=eJr)FU)卜1_QQ(工)/i)pu也业+C)伯努利方程的标准形式为半+p()y=Q()/(0,l).【注】：dx二、全微分方程(恰当方程)的微分解【定理】以二阶为例，设某个二阶函数11。)的偏导数=4=3(A,B不一定是常oxy数，也可能是含,y的表达式)，则这样一个微分方程：Adx+Bdy=O就叫做全微分方程。这里直接给出求其通解的结论，不进行推导：通解
10、(其中p(x,y)=A;Q(x,y)=B)：u(jr9y)=P(x9y)dx+Q(x9y)dy+CjP(Jr,yo)dr+jQ(N,y)dy=C.也可以写成：LOJx【注】：如果没有指明X和y的范围，则认为表达式中(xO,yO)=(O,O),即从原点出发。(由于涉及到高等数学中的曲线积分的知识，这里不去叙述x,y是什么意思)所以对于一般情况下，只要没给定x,y的取值范围，其通解就可以进一步写成：P(XQ)dx+J：Q(X,y)dy=C全微分方程(恰当方程)在处理一些比较复杂的微分方程中有奇效，举个例题：【题】：求该微分方程的通解：(2-y)d-(-y)dy=0解：令Pay)=f-y,Q(,y)=-(-y),则孚=字=一1(判断是全微分方程的充要oxoy条件，就是两个偏导数相等)见该方程是全微分方程，于是有(匕y)=I；(/-y)d(-yMy=/公+一(X-外办，二,一孙十三3y2所以原方程通解为：-=32作者：稀饭
