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1、4平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表ZF4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示学习目标核心素养L掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（重点）2 .会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（重点）3 .理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（重点）1 .通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，提升数学抽象素养.2 .通过用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，培养数学运算素养.自主预习播新MI工新知初探Q1 .平面向量的坐标表TF如图所示，在平面直角坐标系Xoy中，分别取与X轴，y轴方向相同的两个单位向量i,，作为基底,对于平面上的向量。，由平面向量基本定理可知直且
2、区有一对有序实数Cr,y），使得=xi+况我们把有序实数对Cr,y）称为向量a的（直角）坐标，记作=（x,y）.0i思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？提示由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.2 .平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示(1)平面向量的坐标运算已知=(x,y),b=(X2,”)和实数九那么：(i)+8=(x,y1)+(x2,V2)=(x1+x2,y1+2);(ii)a-b=(x,y)-(X2,y2)=Gi-12，力一妆);(iii)z=(x,v)=(x,y).已知Aai,y),B(X2,”)，0(0
3、,0),则AB=OB-OA=(x2,”)一(x1，y)=(整一加，北V)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.(2)向量平行的坐标表示设=(x,),b=(x,y2)f若。b,则曾也一X2y=0.若y0且y2WO,则上式可变形为文字语言描述向量平行的坐标表示(i)定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标盟幽一(ii)定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行.思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将写成初的形式，当0时，。与Q同向，当2=(3,)f且。b,则2=.9答案24.已知A(l,2),8(4,5),若AP=2PB,则
4、点尸的坐标为X=3,J=4,(3,4)设尸(x,y)f则AP=(-l,y-2)fPB=(4-,5y)t又AP=2P8,所以(又一1,y-2)=2(4-,5-y),x-1=2(4-X),即.ly-2=2(5-),所以点尸的坐标为(3,4).合作探究。据素养1r11ilriM平面向量的坐标表示【例1】已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，。为AC的中点，分别求向量AB,ACfBC,8。的坐标.解如图，正三角形A8C的边长为2,则顶点A(0,0),仇2,0),C(2cos60,2sin60),.C(1,3),啕,AB=(2,0),AC=(1,3),BC=(l-
5、2,3-0)=(-l,3).规律方法1 .向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标.2 .求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.o跟踪训练)1.若已知A(l,2),8(0,-1),C(3,k).求低；1*(2)若已知A83C=(Wn-2),试求A,z.解(1)VA(1,2),B(0,-1),.=(-1,-3).1-*1(2.,AB-BC=(-f-3)-(3,k+)1-2-=22,- = yj*2向量平行的坐标表示【例2】已知=(l,2),6=(3,2),当&为何值时，3十一与。-3
6、6平行?平行时它们是同向还是反向？ft?法一：履+6=(1,2)+(3,2)=(-3,2%+2),。-36=(1,2)3(3,2)=(10,-4),当切+力与0-3。平行时，存在唯一实数九使ka+b-(a-2b).由(A-3,2A+2)=l(10,-4).-3=102, 、24+2=42.解得 k=.当R=-W时，。+。与Q35平行，这时ka+b=a+Z=(a-3f),TA=一；0,.,.ka+b与a3b反向.法二：由法一知版+b=(Z-3,2k+2),-3A=(10,-4),：ka+b与a-3b平行,.(改-3)X(-4)-10(2+2)=0,解得k=一;.此时k+5=(-3,1+2-(-3
7、Zf),当忆=一；时，ht+与。一3万平行，并且反向.规律方法向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.2.已知=(l,0),b=(2,l).(1)当Z为何值时，履一力与+2b共线？(2)若薪=2+34靛=。+历且A,B,C三点共线，求加的值.解(IxI=Ml,0)(2,1)=(L2,-1),+20=(l,0)+2(2,1)=(5,2).：kab与a-2b共线，2(-2)-(-l)5=0,即2Z4+5=0,得k=一当.TA,Bf。三点共线，.AB=BCfAR,2a+3b=(a+mb)t2=2, 3=tnf3 解得m
8、=火中3向量坐标的综合应用探究问题1.平面向量的坐标与哪些因素有关？提示平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.2.向量的坐标与点的坐标有何区别？提示符号(%,y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点,又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(.E,y)或者向量=(x,y),注意前者没有等号，后者有等号.3.向量共线的条件如何应用？提示遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用XIy2一及6=0,而不选用为=ZT2,y=次2与费=%(因为后者有bWO,需要讨
9、论).【例3】已知点A(2,3),8(5,4),C(7,10).若G=薪+QR),试求4为何值时.(1)点尸在第一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内.思路探究先求力，AB,n坐标后利用条件表示P点坐标，再根据问题求解.解设点P的坐标为(X,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(-2,y3),A=(5,4)-(2,3)=(3,1),AC=(7,10)-(2,3)=(5,7).AB+AAC=(3,1)+A(5,7)=(3+5,1+72).,AP=AB+ACfX-2=3+52, j-3=l+72.X=5+52, j=4+7.(D若P在第一、三象限角平分线上，则5+52=4+72,12,(2
10、)若P在第三象限内，则5+520,4+70,.-.母题探究1 .将例3中的条件变为“0(0,0),A(l,2),伙4,5)及。尸=。4+沼8”,试求当f为何值时，尸在X轴上、P在y轴上、P在第三象限？解由晶=H+d=(l+3f,2+3r),则P(l+3r,2+3f).2若P在X轴上，则2+3f=0,所以f=-Q；若尸在y轴上，则1+3Z=0,所以/=一1;fl+3r0,2若P在第三象限，则所以一可.2+3r0,32 .将例3的条件变为母题探究1的条件，试求四边形OA8尸是否能成为平行四边形？若能，则求出，的值；若不能，说明理由.解1因为OA=(1,2),P8=(33f,3-3f),若OABP是
11、平行四边形，则。4=P3,所以V33r=l, 3-3r=2,此方程组无解.故四边形OABP不可能是平行四边形.现件方法向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.1.课堂小结小1.在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同.它们之间的对应关系：-一对应f一一对应有序实数对(X，y),A向量。1L点A(,y).2 .通过平面向量的坐标表示和运算,应着重体会用向量处理问题的两种方法:向量法和坐标法.体会
12、数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用.3 .两个向量共线条件的表示方法已知=(x,y),b=(x2,”)，(1)当0时,a=b.(2)即”一x2y=O.(3)当x2y2O时，F=?，即两向量的相应坐标成比例.X2y2当堂达标)国基DAZ；rAZGDAHIA。（；ISHIJAZ3J11 .判断(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()(2)向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)设。=(即，y),5=(x2，)2)，则。b1y2=x2y1()(4)向量=(l,2)与=(一3,6)共线且同向.()答案(1)(2)(3)(4)2
13、.已知平面向量=(l,l),b=(L-1),则向量I力等于()A.(2,1)B.(2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)D-=(l,l)-(l,-1)=(-1,2).3 .已知向量=(l,l),b=(x1tx+2)t若,b共线，则实数X的值为()A.1B.2C.1或一2D.一1或2D由题意知，1(x+2)-x21=0,即/一x-2=0,解得工=-1或x=2.4.已知点4(一1,一3),8(1,1),直线AB与直线x+y-5=0交于点C,求点C的坐标.解设点C(X,y).TA、B、C三点共线，AC=4=A(2,4)=(2,42).(x+1,y+3)=(2t42),x=221,1C(22-l,4A-3).=4-3,把点。(2/11,423)代入了+一5=0得3(2A-1)+(42-3)-5=0,解得a=亍C(2,3).
