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1、角平分线专题05解三角形（角平分线问题问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍如图，在A3C中，Ao平分N84C,角A,B,C所对的边分别为，b,核心技巧L内角平分线定理:丝=生或丝=处BDDCACDC核心技巧2：等面积法（使用频率最高）SMBC=SMBD+Sdczz-ABxACsinA=ABADxsin-+-ACxADxsin-核心技巧3：边与面积的比值:ABAC核心技巧4：角互补:ZADB+ZADC=4=CoSZAoB+cosZADC=0在皿中有：BUa*aaOIl-y/E)ADC-AC在ADC中有：cosZADC=2DADC二、典型例题例题L如图，已知4）是AC中的C的角平分线，交BC
2、边于点AD用正弦定理证明，-BDDC(2)若NBAC=I20。，AB=29AC=I,求AO的长.第(2)问思路点拨：本小题已知HC=I20。，AB=2,AC=I,求心的长.可利用第(1)问结论解答过程:用坦Aa亡血BAi-AC2-BC2h22+12-BC22ABAC221根据余弦定理，COSZ.BAC=,即sl20=利用第(1)问结论八、IABDB.DB2727由(1)知就=而,而=T得S=可Bn=;AD=X在A4皿与A4DC中，根据余弦定理得，GV,一且“。2z+炉一(亍)2s60=cos60=2xl2x229解得3=x=:,即4。的长为4【答案】(D证明见解析；(2)%：(1)VAO是NB
3、AC的角平分线，/BAO=NCA。根据正弦定理，在ABE中,SinZBAD sinZADBBD - BA,在AQC中,SinZDAC SinZADCDC - ACV sin ZADB = sin( - ZADC) = sin Z.ADC sin ZBAD SinZADBDBsin ZDAC DCsin ZADCAC BC二戊(2)根据余弦定理,1,即COSN助cJ”+解-L2ABAC得BC=耳又BC=N喂吃解得8邛,如咨设则在乎与AB。中,+l22+r2(2近)2根据余弦定理得，。且。T亍)cos60=cos60=2xl2x229解得A。=X=W,即的长为宗3J例题2.在中，内角48,。所对的
4、边分别为4也。且海18=加由卜+三).(1)求角4的大小;若A=3,AB=2,/B4C的内角平分线交BC于点O,求AO.第(2)问思路点拨：由(D知/=：,求角平分线3长，可优先考虑面积公式解答过程:由(D知/=*,由角平分线面积公式LeC=S,加+S皿=-AB-ACsinABAC=-ABADsinZBAD+-ADACinZDAC代入数据计算a1z4兀ICjx7C1._xTl：.AD = . 431sn-=3ADxsrn-+ADxlxsm-,232626【答案】(I)5;(2)挛.34(1).sin8=6sin(A+g),由正弦定理得SinASinB=SinBSin(A+1),.,si11B0
5、,.,.sin=sin4+Lsin=sinA+即，sinA=cosA,tanA=5,A(0,),.A=223(N):SAABC=SAABD+SaADC，.-AB-ACSinZBAC=-AB-ADsnZBAD+-AD-ACSinZDACt222.-3Ixsin-=-3ADxsin-+-ADxlxsin-,/.AD=2326264例题3.在“8C中，A6=3,BC=4,线段BO是ZB的角平分线，且S”的=6.求S.【答案】8；解(1)Q8。平分ZABC.ZABD=ZDBc乙ABDABBDsinZABDdq2A8_3SdBCD-BDBCsinZDBCBC42s4A.KD-3AaABDA例题4.在“I
6、BC中，。是BC的中点，B,AC=2,AD=-.2(1)4ABC的面积为.(2)若AE为NBAC的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为.解:(1)由题意，QO是BC的中点，.AD=(+AC),.JAD2=-(AB+AC)2=(2+ACI2+2AB-AC)3即力严4+2gg解得福将T.:.cosZBAC=ABACBACy,0ZBAC解得m=75或JW=-73（舍）.所以4C=3由角平分线的性质知：ABiAC=BM:MC=23f若A8=2肛AC=3?,因为ZAMBZAMC=9则cosZAMB=-cosZAMC,所以21-W16-4m21239整理得30w2=90,解得=6或-6（舍）所以AC=
7、3J故答案为：33三、题型归类练1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题:线，AB=3,AC=4,BC=S,则Ap=()A.2B.日C.他777【答案】D如下图所示，过点加作OEJ.AP,垂足为点E,ZT5C在IBC中，A=3,AC=4,BC=5,UWAB2+AC2=BC2,因为ZBAC的角平分线交ZR4C于点8C,则ZBAD=45。，根据内角平分线定理可得条=若=,BD=Ibc=A,-XZlz*/BDBC557DE在用AOE中，ZAa=90,NZME=45,SinNDAE=而,已知AABC中，AZ)
8、为角平分D,诬7ZBAC=90,.AD=q及.sin457故选：D.2.在中，角At8,C的对边分别为a,btcf已知，(4+b)(sinA-sin5)=c(sinC+sin8),若角4的内角平分线A。的长为2,则4h+c的最小值为()A.10B.12C.16D.18【答案】D解：因为(。+6)(SinA-sinB)=C(SinC+sinB),所以(+b)(-b)=c(c+b),gpa2=b2+c2+bc,由余弦定理易得COSA=-又OVAV4A=.3.AD平分角A,aZBAD=ZCAD=60.IIlSaAbC=SAABD+SdACD得Lbcsin120。=JC40sin60+!40sin60
9、0,222即bc=2(b+c),即*=；,bc2:.4+c=2-(4+c)=25+-j2(5+22)=18,当且仅当c=2MI寸等号成立，即4/?+C的最小值为18.故选：D.3.在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若qsin4=csinC+e-c)sinB,角A的角平分线交SC于点。，且AZ)=2J,c=3b,则的值为()C.3D,也3【答案】D因为“sinA=csinC+S-C)Sin8,由正弦定理得：a2=c2+b2-bc则c?+从一/=从，由余弦定理可得：CoSA=C+b_匕=包_=L.oa0,C=劝=8,由余弦定理可得TTlT-/7匚64648万a=c+b-Icbc
10、osA=./64+=.Y933故选：D.AD2 + CD2 - AC22ADCDcos(-ZADC) =BD2+ CD2-BC2IBD CD4 .在2LC中，CD是ZACB的角平分线且通=4而,AfI=，若ICDI=3,则NCDA=,.ABC的面积为.【答案】V64在C中，C。是ZACe的角平分线，且48=44),则有：“-ACCDsinZACDc-ADCDsinZADCa.1ACOO.rnOAD1._=j=甘区2=丁/=-,令C4=1,则BCBCCDsinZBCDSJiCDBDCDsin(-ZADC)BD3CB=3t,在AHCD与2X8CD中，由余弦定理得：CosZADC=因此*+号等=得4
11、即有csNC=需=乎，解得/84=(,ABC的面积为S=4Sj0c=4g3x=6.故答案为：645 .在中，ZA=60NA的角平分线与8。边相交于O.月。=竽，3C=7,则AB边的长度为一.【答案】2或3#3或2由题意得S“加=!ABX4Oxsin30=Laax延=述A8,24510SJCD=-CADsin30。ACXM=述4C，A245101 F)SRic=一A8xACsin60=ABAC2 4由SAABC=SdABD+acd，可得(AB+AC)=ABAC104所以A8+AC=2a3xAC,6又由余弦定理，AB2+AC2-ABxAC=I,可得(A8+AC)?-3ABxAC=7,所以生(A8xAC)2-3A8xAC=7,解得ABXAe=6,36
