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1、第一章空间向量与立体几何基础巩固检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若平面。与夕的法向量分别是=(L0,-2),U(-1,0,2),则平面。与夕的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为=(l,0,-2),力=(T,0,2)是平面。与夕的法向量，则=-从所以两法向量平行，则平面。与夕平行.故选：A2 .当Ial=Ib0,且a、b不共线时，a+方与的关系是()A.共面B.不共面C.共线D.无法确定【答案】A【分析】利用平面向
2、量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.【详解】根据平行四边形法则可得，以a，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为a+b,a-b所以j+B与力共面.故选:A.3 .己知3A,3C网为三条不共面的线段，若AC=XM+2泗C+3zCQ,那么x+y+Z=()A.1B.-C.-D.666【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：ACi=AB+BC+CCi,即AC1=AB+BC-C1C,因为AG=xAB2yBC+3zC1C,所以X=1,2y=l,3z=-l,所以x=l,y=所以x+y+z=l+!-!=!23236故选：B.4 .在如图所示的
3、坐标系中，48CD-A用GA为正方体，给出下列结论:直线QA的一个方向向量为(0,0,1)；直线BG的一个方向向量为(0,1,1)：平面A的一个法向量为(0J0)；平面8。的一个法向量为(IJl).其中正确的个数为()【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为。，则M,O),R(Omm),OA=(O,0m),则Q与(0。1)平行，故直线。A的一个方向向量为(0,0,1),故正确：因为8(,0,0),G(,),所以BG=(Omm),因为bc/(OJi)平行，所以直线BG的一个方向向量为(0,1,1),故正确；因为40,0,0),。(
4、040),所以AO=(OmO),因为AD是平面斗吕片A1的一个法向量，且Aohj(O/，。)平行,所以平面ABBM的一个法向最为(Oj0),故正确；因为C(,O),O(OM,0),所以CD=(-a,0,0),因为U(l,l,l)=(-,O,O)(Ll,l)=-O,所以COLj(Ul)不垂直，所以(1,1,1)不是平面BC。的一个法向量，故不正确.故选：C5 .己知向量=（l,2,3）,b=，；,TZ）,若力，则Z=D.【答案】A【分析】由空间向量共线知识可得答案.1233【详解】因GE，则-1z2.2故选：A6 .己知宜线/的方向向量为4=（2,-1,2）,平面。的法向量为“=（一2,。一上。
5、+。）（,。1）.若/_10,贝J+勖的值为（）A.-5B.-2C.1D.4【答案】A【分析】根据题意得到.，进而得到方程组:H求得.的值，即可求解【详解】由直线/的方向向量为e=(2,-1,2),平面。的法向量为=(-2,a-b,+b),因为/J_a,可得，/，所以4=畔=等，212a-b=1319即八/ma=-,b=-ta+3b=-=-5.a+h=-22222故选：A.7 .如图，在四棱锥P-ABC。中，BA_L平面A8CO,ZBAD=90ofPA=AB=BC=-AD=IiBC/AD,2己知。是棱?。上靠近点P的四等分点，则Co与平面所成角的正弦值为（）.【答案】C【分析】建立空间直角坐标
6、系，写出相应,点C、。的坐标，求出平面R45的法向量，最后求出C。与平面QAB所成角的正弦值.【详解】PA_L平面43CzZ/840=90。，以A为坐标原点，ARAB,AP所在直线分别为X轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，则C(U,0),易知平面PAB的法向量;?=(1,0,0).设CQ与平面丛8所成角为。，则SimM(Ca小册=$嚼.故选：C.8.如图，在四棱锥PABCO中，尸。_1_底面A8CO,底面48Co是矩形，AB=24。=4,尸。=竽,E是PA的中点，FB=2尸产，则点C到平面。所的距离为()A啦B.亚C.叵D.典55510【答案】B【分析】如图，以o为坐标原点，qa,oc,dp的
7、方向分别为y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】如图，以O为坐标原点，QA,QC,Dp的方向分别为XKZ轴的正方向，建立空间直角坐标系,则。(0,0,0),C(0,4,0)4(2,0,0),5(2,4,0),.0,0,竽,因为E是EA的中点，FB=2PF，所以e(i,o,半,后,陪所以Z)E=,O,竽,DF=g,g,半OC=(0,4,0).设=（乂），,Z）是平面DEF的法向量,故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知向量4=(l,T,0)/=(-
8、1,0,l)4=(Z-3,1),则()A.-=6B.(a+2).伍+c)=7C.(a+5b)_LcD,ab-c【答案】CD【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于人,5=（1,-1,0）&=（-1,0,1）,.“一6=（2,-1,-1）,=，一+(-1)+(-1)=，故A错误；对于B,.6(+22?=(-1,-1,2),Z+c=(1,-3,2),贝j(+2b),+c)=(T)xl+(-l)x(-3)+22=6,故B错误；对于Ca+5b=(-4,-l,5),贝j(+5h)c=-42+(-l)x(3)+5xl=O,则(+5b)Lc,故C正确；对于
9、D,一c=(-3,3,0),a=(l,-l,0),.-c=-3a,/.a(-c),故D正确.故选:CD.UUU10 .已知匕，匕分别为直线，的方向向量(11,/2不重合)，为，分别为平面4的法向量(a，尸不重合)，则下列说法中，正确的是()A.v1/v2OIIHl2B.v1V2=/_!_/2UIUC.n、IItulOaHpD.nl-LnyJ-/?【答案】ABCD【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案.【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行(或垂直)的充要条件是它们的方向向量平行(或垂直)，故选项A,B正确：若两个平面不重合，则空间中面面平行
10、(或垂直)的充要条件是它们的法向量平行(或垂直)，故选项C,D正确.故选：ABCD.11 .如图，在正方体A86-AMGR中，E,F,G,Af均是所在棱的中点，则下列说法正确的是()C.平面BDM 平面AEFD. Bfi/ AxF【答案】ABC【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线MGOA1b的方向向量和平面BDM和平面A1EF的法向量，利用空间直线的方向向状与平面的法向最的关系即可求解.【详解】依题意，以0为坐标原点，建立空间仃.角坐标系。-种，如图所示不妨设正方体ABS-ABiGR的棱长为2,则O(0,0,0),G(Ojo),M(2,1,2),七(2JO),
11、厂(1,0,0),8(2,2,0),A(2,0,2),4(2,2,2),所以BG=(-2,-1-2),DM=(2,h2),所以加二一8。，即OM40，亦即4G7W,故A正确;所以AE=(U-2),A产=(To,2),设平面AE尸的一个法向量为=(,y,z),则nA.E=O.,即A尸=所以=(-2,2,l),所以4G=(-2)x(-2)+(-l)x2+(-2)xl=0,即,8G,又用GU平面AE尸，所以BQ平面AE/故B正确;所以OM=(2,1,2),OB=(2,2,0),设平面BDM的一个法向量为加=(x1,ypz1),则mDB = 0m - DM =02X + 2y1 = 02x1 + y1
12、 + 2z1 =0=-2, zl =-1,所以平面8。M平面4，尸，故C正确;所以Bfi=(一2,-1,-2),A户=(T，0,-2),所以4G和A尸不平行，故D错误.故选：ABC.12 .如图，在四棱锥PABC。中，底面A8CD为平行四边形，ZDAB=,AB=2AD=2PD,Q3_L底面A.PAYBDB.依与平面ABCD所成角为:6C.异面直线A8与PC所成角的余弦值为gD.二面角A-P8-C的正弦值为应57【答案】ABD【分析】连接BD，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得Bo_LAD,于是可建立空间直角坐标系,根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】连接80，因为NDA8=1,设A
13、B=2AZ)=2PD=勿，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADAB-cosZBAD，所以SO?=a2+4a2-4a2=3a2f贝jBQ=J,WiBD2+AD2=AB2即BD_LAD，又PDJ_底面43。,A,8DU底面ABCr,所以P)_LAr,PO_L8D,如图，以。为原点，DADBQP分别为乂招z轴建立空间宜角坐标系，则Z)(Ooo),4(。,0,0),40,岛,0),a,6a,o),P(OOa)对于A,所以=(,0,-4),D=(,-3),则PA8Z)=0+0+0=0，所以QAjLBr),故A正确；对于B,又PB=(O,岛,-a),因为尸。，底面ABC。，所以OP=(0,0,。)是
14、平面48CD的一个法向量，所以COSdp=pbdp F则W与平面488所成角的正弦值为;，即PB与平面ABCD所成角为2,故B正确;262+36t2+0 25Ia 5a5对于C,B=(-a,y3a,0),PC=(一6小a,-a),则COS(A仇PC)二m,BPC则异面直线A8与PC所成角的余弦值为竽，故C错误;,、PAn=Oax-az=0优=Zl对于D,设平面皿的法向量为-，则晶I=Onlf+可=0=3明令M则=(图6),、PBm=0-VJiay2az.=0(Zl=设平面PBC的法向量为6=(,%,z,),则=r=1-八，令K=I,则、一PCm=O-ax2+yJ3ay2-az2=02=Om=(,l词，所以cos(n,m)=AFi=*3=,m727令二面角A朋c所成角为仇oe4),则ICoSel=乎则平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为毡,7所以sin。=JI-COS*9=故D正确.故选：ABD.
