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1、第十八讲平面向量的数量积【要点梳理】1 .平面向量的数量积已知两个非零向量。和b,它们的夹角为，,则数量版OS0叫做。和b的数量积(或内积)，记作b=eIlblCOS0.规定：零向量与任一向量的数量积为Q.两个非零向量a与b垂直的充要条件是“b=0,两个非零向量。与b平行的充要条件是a-b=ab.2 .平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度间与b在a的方向上的投影步ICoS的乘积.3 .平面向量数量积的重要性质(l)e=e=cos6；(2)非零向量”，b,a,bab=0;(3)当。与6同向时，ab=ab.当0与b反向时,ab=-ab,aa=a2f=0:a,b(4)COSe=丽；(5)1
2、。例_三_印夙4 .平面向量数量积满足的运算律(l)0b=bn(交换律)；(2)()b=(ab)=a-(b)(为实数)；(3)(+b)c=c+bc.5 .平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量=(x,),b=g闻，则Q协=型也11应，由此得到若=(x,y)f则l2=x2+v2或Ial=x2+y2.(2)设A(Xl,y),仅如力)，则A、B两点间的距离IABI=I检|=N(x及)2+(一”)2.(3)设两个非零向量。，b,=(x,j),b=(x2tyi)则。，汨立+力力=。.【基础自测】1 .已知向量。和向量的夹角为135。，=2,|例=3,则向量。和向量b的数量积“协2 .已知_1_儿=2,步
3、|=3,且3+2力与北一方垂直，则实数2的值为.3 .已知=(2,3),=(-4,7),则。在b方向上的投影为.4 .已知向量=(2,l),)=(一1,勒a(2a-b)=0,则左等于()A.-12B.-6C.6D.125 .设向量=(l,CoSe)与6=(-1,2CoSj)垂直，则eoS2J等于()A孚B.C.OD.-1例题讲解题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1)在RlAABC中，ZC=90o,AC=4,则BAb等于()A.-16B.-8C.8D.16(2)若向量=(l,l),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8-b)c=30,则X等于()A.6B.5C.4D.3练习：己知正方形
4、ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则5b劭的值为;江比的最大值为题型二向量的夹角与向量的模【例2】已知同=4,步|=3,(例-3b)(知+b)=6L(1)求。与力的夹角仇(2)求Q+切；(3)若赢=。，BC=b,求aABC的面积.练习：(1)已知向量。、b满足同=1,b=4,且。山=2,则。与。的夹角为()(2)已知向量。=(1,3),Zr=(-l,O),则0+2例等于()A.1B.2C.2D.4题型三向量数量积的综合应用Ifi1J31已知。=(COS,sin),b=(cosfSinS)(OVaVSV).(1)求证：0+b与。一。互相垂直；(2)若ka-irb与a-kb的模相等，求尸一
5、夕.(其中k为非零实数)练习：已知平面向量G=N1),方=&2),(1)证明：(2)若存在不同时为零的实数攵和f,使c=+(P-3)b,d=ka+tb,且c_Ld,试求函数关系式k=(f).【巩固提高】1 .设X,yR,向量=(x,l),b=(,y),c=(2,4),且a_Lc,bc,则+b等于A.5B.10C.25D.102 .在aABC中，AB=3,AC=2,fiC=l,则加等于()3 223A.-2B.一C.D，23 .已知向量”，力夹角为45。，且=1,2-ft=K),则向=.4 .在AABC中，M是BC的中点，AM=3,8C=10,则QAb=.5 .己知=(2,-1),b=(f3),若。与方的夹角为钝角，则的取值范围是.6 .己知=(l,2),b=(-2tn)(11l),。与力的夹角是45。.求乩(2)若C与力同向，且。与ca垂直，求c.
