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1、2. 2.3直线的一般式方程或课前预习J素养启迪手知识梳理,直线的一般式方程直线的一般式方程关于X,y的二元一次方程Ax+By+C=O(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.(2)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.叁预习自测,1 .过点(T,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（八）A.-2y+7=0B.2x+
2、y-l=0C.-2y-5=0D.2x+y-5=0解析:设与直线-2y3=0平行的直线是-2y+c=0(c3),代入点(-1,3)得T-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-2y+7=0.2.若方程Ax+By+C=O表示直线,则A,B应满足的条件为(D)A.A0B.B0C.AB0D.A2+B2O解析:A,B不能同时为0,则A2+B20.3 .若bc0,则直线ax+byc=0的图象只能是（D）解析：由题意,b0,将方程axby+c=0转化为尸-9一三易知OD4 .（多选题）（2022云南昆明高二期中）已知直线1:x+y-2-a=0在X轴和y轴上的截距相等,则a的值可以是（ABCD）A.0B.1C
3、.-lD.-2解析:令尸0,得到直线在X轴上的截距是2+a,令x=0,得到直线在y轴上的截距为2+a,所以不论a为何值,直线1在X轴和y轴上的截距总相等.5 .已知mR,直线1:mx-y+l-2m=0过定点Q,则点Q的坐标是若点P（3,2）,当直线PQ与直线1的夹角为15。时,m的值为解析：l:mx-y+l-2m=0变形为y-l=m（-2）,故过定点Q（2,1）,直线PQ：F=*,即x-y-l=0,直线PQ的斜率为1,倾斜角为45,所以直线1的倾斜角为30或60,所以m=tan30o=g或m=tan60o-y3.答案：（2,1）/或5豌课堂探究二素养培育好探究点一,求直线的一般式方程例1根据下
4、列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.斜率是3,且经过点A（5,3）;斜率为4,在y轴上的截距为-2;经过A(T,5),B(2,T)两点；(4)在X轴、y轴上的截距分别是-3,T.解：(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为丫-3二百-5),化为一般式方程为V3-y+3-5V3=0.由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4-2,化为一般式方程为4-y-2=0.由两点式方程可知，所求直线方程为胃二2，一1-52-Ll)化为一般式方程为2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为彳+-1,-3-1化为一般式方程为x+3y+3=0.g方法总结求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形
5、式一般作如下设定：X的系数为正；系数及常数项一般不出现分数;一般按含X项、含y项、常数项顺序排列.易错警示要注意斜率不存在或者为0时的情况.针对训练根据下列条件分别写出直线的方程.经过两点A(5,7),B(l,3);经过点(-4,3),斜率为-3;经过点(2,1),平行于y轴；(4)斜率为2,在X轴上的截距为1.解：(1)由两点式方程得分二分，即-y2=0.(2)由点斜式方程得y-3=-3(x4),即3xy+9=0.(3)由题意知x=2,即-2=0.(4)由点斜式得y=2(-l),即2x-y-2-0.好探究点二J直线方程几种形式的相互转化及其应用例2设直线1的方程为2x+(k-3)y-2k+6
6、=0(k3),若直线1的斜率为-1,则k=;若直线1在X轴、y轴上的截距之和等于0,则k=.解析：因为直线1的斜率存在,所以直线1的方程可化为y=-2,kS由题意得-W=T,解得k=5直线1的方程可化为三+白1,k-32由题意得k-3+2=0,解得k=l.答案：51g方法总结(1)直线的一般式方程Ax+ByC=O中要求A,B不同时为0.由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件.解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式
7、方程化为斜截式,利用直线的斜率和在y轴上的截距作出判断.针对训练设直线1的方程为(al)xy2-a=0(aR),若1不经过第二象限,则实数a的取值范围是.解析:将直线1的方程化为y=-(a+l)x+a-2,财0,或=0,所以WL(Q-203一20,答案：(-8,-1后探究点三J由直线的位置关系求方程例3已知直线1的方程为3x+4yT2R,求直线的方程,使1满足：(1)过点(7,3),且与1平行；过点(-1,3),且与1垂直；(3)1与1垂直,且1与两坐标轴围成的三角形面积为4.解：(1)法一1的方程可化为y二-9+3,4所以1的斜率为-未4因为1与1平行,所以r的斜率为-未4又1过点(-1,3
8、),所以由点斜式得直线r的方程为y-3=V(x+l),4即3x+4y-9=0.法二由1与1平行,可设1的方程为3x+4y+m=0(mT2),将点(-1,3)代入得m=-9.所以直线1的方程为3x+4y-9=0.法一1的方程可化为y=x+3,所以1的斜率为4由1与1垂直,得1的斜率为，又1过点(-1,3),所以由点斜式得直线r的方程为y-3(x+l),即4-3y+13=0.法二由1与1垂直，可设1的方程为4-3y+n=0,将点(-1,3)代入得n=13所以所求直线1的方程为4-3y+13=0.法一1的方程可化为y=f+3,所以1的斜率为。因为rj_i,所以设1在y轴上的截距为b,则直线1的方程为
9、y=+b,令y=0,可得1在X轴上的截距为-；b.由题意可知，围成的三角形面积丹b(b=4,所以b=孚所以直线1的方程为4146-e446y寸+丁或yw即4-3y+46=0或4-3y-4V6=0.法二由1与1垂直,可设直线1的方程为4-3y+p=0,则1在X轴上的截距为-3在y轴上的截距为与43由题意可知，围成的三角形面积得p-46.所以直线1的方程为4-3y+4V=0或4-3y-4V=0.g方法总结过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程.可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=O(A2+B
10、2O)平行的直线方程可设为Ax+By+C尸0(ClC),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线方程可设为B-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.易错警示利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况.J针对训练(1)过点(1,0),且与直线-2y-2=0平行的直线方程是()A.-2y-l=0B.-2y+l=0C.2x+y-2=0D,x+2y-l=0(2)直线1过点(T,2),且与直线2-3y+4=0垂直,则1的方程是A.3x+2y-l=0B.3x+2y+7=0C.2-3y+5=0D.2-3y+8=0解析：(1)
11、所求直线与直线-2y-2=0平行,故所求直线的斜率k=i又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为y-O=(-l),即-2y-l=0.故选A.(2)由直线1与直线2-3y4=0垂直,可知直线1的斜率是-1,由点斜式可得直线1的方程为y-2=-(xl),即3x+2y-l=0.故选A.好探究点四,根据直线的位置关系求参数值(取值范围)例4(1)直线l1(2m2-5m+2)-(m2-4)y5=0的斜率与直线l2：x-y+l=0的斜率相同，则m等于()A.2或3B.2C.3D,-3若直线ax+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a的值为()12A.1B.-C.-D.-233解析：直线L的
12、斜率为当炉,直线L的斜率为1,则25：+2二,即2m-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0,解得m=2或3.当m=2时，2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0,则m=2不符合题意，故m=3.故选C.(2)由题意，得(-3X(T)=T,解得a=-2.故选D.g方法总结对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论:设直线L与12的方程分别为人津+8日+00Q,81不同时为O),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则LIT髓二器1：或(A1B2A2B10,(A1C22C10;1iLA1A2+BiB2=0.J针对训练(1)若直线l2x+(ml)y+4=0与直线b：mx+3y-2=0平
13、行,则In的值为；若直线(2L3)x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围是.解析：(1)若m=T,则L的斜率不存在，k的斜率为*此时L与k不平行;若mT,则I1的斜率为心-二,b的斜率为k2=-.因为Lk,所以k.=k2,即一二7二日,解得m=2或-3.经检验均符合题意.直线方程可化为尸(3-2t)-6,所以3-2t.答案：(1)2或-3(2),+8)课堂达标,1 .已知直线l:kx-y+2k-2=0(kR),若1不经过第四象限,则k的取值范围为(B)A.klB.klC.k0D.k0解析:根据直线方程可得y=k(x+2)-2,故直线过点(-2,-2),当k0时,若直线过原点可得k=l,当
14、kl时,直线不过第四象限，当kl时,直线过第四象限,综上可得kl.2 .已知直线11:(k-3)x+(3-k)y+l=0与I2:2(k-3)-2y+3=0垂直，则k的值是（八）A.2B.3C.2或3D.2或-3解析:因为所以2(k-3)2-2(3-所=0,即k2-5k+6=0,解得k=2或k=3,当k=3时，L不表示直线，应舍去.3 .平行于直线2xy+l=0,且在y轴上的截距的绝对值为5的直线的方程是(D)A. 2-y+5=0或2-y-5=0B. 2x+y+5=0或2xyV5=0C. 2-y+5=0或2-y-5=0D. 2xy+5=0或2x+y-5=0解析:设所求直线的方程为2x+y+c=0(cl),其在y轴上的截距为-c,所以I-CI=5,解得c=5或-5.故所求直线的方程为2x+y5=0或2xy-5=0.4 .(多选题)(2022辽宁大连高二期中)已知直线l1ax2y+8=0与12：x+(aT)y+a2-l=0平行,则实数a的可能取值是(AD)A.-lB.0C.1D.2解析:因为L1力所以FJ=0,解得a=2或a=-L(z-
