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1、543正切函数的性质与图象6题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1 .定义域：xX+kykezf2 J2 .值域：R3 .周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是万4 .奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-X)=-tanx.(、5 .单调性：在开区间一一+k-+kAz内，函数单调递增.22)三、正切函数型y=Atan(8+9)(AO,0O)的性质TT1、定义域：将“5+9”视为一个“整体”.令3X+夕工女乃+万次WZ解得X.2、值域：(-00,+8)3、单调区间：(1)把“3+9”视为一个“整体”；(2)A0(A0)时，函数单调性与y=tanx(xw&乃+,kz)的相同(反)；(3)
2、解不等式，得出X范围.714、周期：T=FT彩饵题秘籍()正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tanx有意义，即对与+E,Z.求正切型函数y=Atan3；+e)(A#0,0)的定义域时，要将“重+少视为一个“整体令工+存也+5ArZ,解得4.(2)求正切函数值域的方法对于y=Atan(x+)的值域，可以把3x+看成整体，结合图象，利用单调性求值域.对于与y=tanX相关的二次函数，可以把tanX看成整体，利用配方法求值域题型1:正切函数的定义域、值域问题11. (2023上北京高三IOl中学校
3、考阶段练习)函数f(%)=tan(x-W的定义域为.【答案】+【分析】根据止切函数的定义域求解即可.【详解】由x-w=+E,kwZ,32即XH学+E,kwZ,所以函数力=tan卜-的定义域为卜x-+k,kgZ故答案为:(xx”+E次z.12. (2023全国高一随堂练习)求下列函数的定义域:(2)y=；1+2snxN=Tan+看)+2；(4)y=卜C吟【答案】(1)卜IXWE+：且XHE+,&ez.卜IXW专+2&且X工今+2A,&z(3)(e-,E+)伏Z)(4) R【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解.1 - tan X【详解】(1)因为y=;，所以IanXH1,T
4、TTC所以XHE+,%Z且xh+EwZ,421 - tan %故y=J的定义域为卜xhE+J且x*E+g,AwZ(2)因为y=,所以1+2SinXW0,即SinXH-所以XH-+2k,Zx-+2k,kwZ,66故y=T的定义域为xx-g+2E且+1 +2smxIo6J(3)因为y=-tanx+)+2,-*-x+-+-,Z,得Ex5tanX1-6,即y=l-Qtanx（Tx）的值域为故答案为：16. （2023下陕西汉中高一统考阶段练习）函数/（x）=tan（3x-g）在0,工）上的值域为.【答案】-3,）【分析】根据题意求得3x-gw-g结合正切函数的性质，即可求解.【详解】由Xe,可得3%一
5、白一Sd根据正切函数的性质，可得tan（3X-1）e-3+oo）,即函数“力=tan3x-J在0,篇上的值域为-6词.故答案为：-3,+）.17. （2023上高一课时练习）求函数y=-tan2+4tanx+l,X一：片的值域.【答案】i4【分析】结合复合函数的性质，令tanx=/,函数变化成y=-+4f+l=-（2p+5,ftT,l的二次函数问题，从而求得函数的值域；【详解】因为Xe一H，所以TWtanXWL令tanx=f.则fT,1.y=-r2+4/+1=-(/-2)2+5.当f=-L即X=时，ym=1当f=l,即X=J时，x=4,故所求函数的值域为TM.18. (2023江西校联考模拟预
6、测)函数*)=2：,彳w,g的最大值为.l+2tanx13)【答案】电22【分析】分子分母同时除以tanx,然后使用基本不等式可得.22【详解】解：x,j,lanx(0,6),由题意得八幻二一1一一亚=T，当且仅当(3)+2tanXtanX!=2tan%,即IanX=也(0.6)时取等号，故/W的最大值为立.tanX22故答案为：也2彩饵题淞籍(二)正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x=+E,2Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.题型2:正切函数的图象及应用21. (2023全国高一课堂例题)画出函数y=2
7、tan(gx-：)在xe0,2r上的简图.【答案】答案见解析【分析】根据五点作图法画图即可.【详解】令LX-2=2+E,kC,可得X=包+2E,kwZ,2422又xe0,2兀,所以直线X=与是该函数图象的一条渐近线.当X=O时，y=2tan(-l=-2;当X=时，,=2tan0=0：当X=几时，y=2tun=2：4当X=2兀时，y=2tan=-2.4描点(0,-2),(别，(,2),(2兀,-2),画虚笠式告，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示.22. (2023下.湖南高二统考学业考试)函数y=tanx在一个周期内的大致图象是()【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断,【详解】由正
8、切函数的图象与性质可知尸协在(后,乡上单调递增，图象为A,故选：A23. (2023上高一课时练习)函数/(x)=xtan(-l,=tan(x+3)的单调区间的方法y=tan(cox+)(0)的单调区间的求法是把工+勿看成一个整体，M?Ax,AGZ即可.当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间.题型3:正切函数的单调性及其应用31. (2023上江苏高一专题练习)求函数y=3ta*的单调区间.【答案】单调递增区间为罪L1一+、k?Z),无递减区间.【分析】由正切函数的单调性直接求出即可.、VAtj.人f兀C兀j兀fr7Z1,内C3兀kK7Cfr.7【洋解】)ICK2x+-kuH,%Z,fX1
9、,ZeZ,2422828.函数y=3tan*+;的单调递增区间为雷-1.g+/,&?Z),无递减区间.32. (2023上江苏高一专题练习)求函数y=tan、+：)的单调区间.【答案】递减区间为(-+4E,3兀+4E)(kwZ),无递增区间.【分析】先将函数化为y=an(然后利用整体代入法即可求得单调区间.详解y=lan(-TX+5)=_tan(：4_?)由一色+EL-2H+E,Az,得一+4Evx3r+4E,AZ2442所以，函数y=tan13+T的递减区间为(F+4E,3+4A)(AZ),无增区间.33. 【多选】(2023下四川成都高一统考期中)已知函数)=tan+?),若/(x)在区间
10、(呈内单调递增，则。的可能取值是()A.-B.C.D.2366【答案】BC【分析】由X的范国，求出H掾的范国，由题意可得+3弓，解方程即可得出答案.【详解】因为xe(微,刃+啰)，函数/(x)=tan若f(x)在区间e,，!内单调递增，所以E+3=,所以50?.3226故选：BC.34. （2023上江苏徐州高一统考期末）已知函数/（x）=tan,-|（eZ）在区间惇部上是减函数，则的取值集合为.（用列举法表示）【答案】T-2【分析】由止切函数的单调性结合条件可得0,由正切函数的单调区间与周期性可得|4,再时的值进行逐一验证即可得出答案.【详解】由/（同在区间修引上是减函数，则0,且*而，解得
11、”4因为Z,所以=一4或=一3或=一2或=一1,(加1W/兀33,7当 二一4时,/(x)=-tan4x+-J,当代仁,官)时，4x-,当以+?点，即X啜时，函数无意义，故-4不成立.当 =_3时，/(X)=5 1 ,v上单调递增,上是减函数,Tan, + *当ll, 5 C 1 l 时，一3x+-，848故=-3满足题意.当=一2时，/（x）=Tan（2%+?）,当XW（T卜,24+：兀，由y=tanx在（M上单调递增，所以“可在区间（需）上是减函数,故=2满足题意.当=T时，f（x）=an卜当XeiJ,gj时，工，+不，当x+f=g,即X=E时，函数无意义，故=T不成立.424故答案为：-3,-235. （2023下.高一课时练习）已知函数）=amx在卜得内是减函数，则。的取值范围是【答案】（0【分析】由已知得（一e）为一个周期的子集，由此可得关于。的不等式组，解不等式组即可.【详解】已知函数丁=Tans在卜会内是减函数，函数y=ta
