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1、三次函数知识点总结知识点一：三次函数概念定义：形如fM=ax3+bx2+ex+d(0)叫做三次函敞/(X)=3ax22bx+c,把A=4b2-Ylac叫做三次函数导函数的判别式当A0时，令/(%)=0,记两根为X=g三每,M=知识点二：三次函数的图像及单调性注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！a00000/(X)图像yMfv,/(X)性质增区间(-00,须),(，+)减区间(Xl，X2)f()有两个极值点极大值/区)，极小值/(x2)f(x)0恒成立f(x)在R上递增f(x)无极值点增区间(XX2)减区间(-,x1),(x2,+00)f()有两个极值点极大值f(X2)，极小
2、值f(X)f(X)0恒成立f(x)在R上递减f(x)无极值知识点三：三次函数的韦达定理设fW=+bx2+c+d(0)的三个零点分别为修，孙，如则(1) Xi+X2+%3=-；(2)%1%2+%2%3+31=；(3)%1%2%3=Y七证明设/(x)=ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(%-x2)(.x一3)即f(%)=ax3-Q(Xl+X2%3)/+Q(XlX2+x2x3+3xl)x-xlx2x3-(%+M+%3)=bb(%2+%2%3+%3%1)=Cki+X2+3=-；ill23+3x1+x1x2C,.c.n-I+=；第12+%2%3+=X1X2X3=-M以必MX2*3d-a2x3=d知
3、识点四：三次函数的零点个数若三次函数/)=Q炉+bx2+c%+d(0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下:性质三次函数图像说明a0a0点三个l八/(X1)f(%2)0f01)f(%2)=0有一个极值为0图像与轴有两个交点一个db23ac0/ODf3)0不存在极值时，函数单调，与轴有一个交点知识点五：三1次函数的对称性结论h三次函数f(x)=q%3+/+cX+d(0)的图象关于点(一g/(-勺)中心对称证明设丫=f8的图象关于Gn,叫对称,则f8满足f(jn+x)+f(m-x)=2n/(m+x)+f(m-x)=QKm+x)3+(m-x)3+b(m+x)2+(nx)2+CKTnx)+(m-x
4、)+2d即f(m+%)+/(m-%)=(6xm+2b)x2+2m3+2bm2+2cm+2d=2n恒成立fam+2b=0=Pn一一五l)2am32brnz+2cm+2d=2n)0,91,/b(Zl=ami+bmr+cm+d=f(J所以三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)图像关于点gf(-勺)中心对称结论2：已知三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)中心对称点的横坐标为两个极值点分别为小,%则”等=(0)=-(x1-x2)2Xlr23N,_L证明f 8 = 3 x2 + 2bx + c =：J_c_3n%l-2=(X1+X2)2-4X1X2=23l3flf132-3a*吟
5、=ZHbgJHcaE)=a(Xi+X2)2_XiX2j+h(1+x2)+c=a(-)2-bT)+c=中，。)=7T)T3。(-兼+2b(T)+c=好一2i)2T(宏萨)=殁弃，所以铝詈=V6。)=一式打一血)2,证毕.结论3：若y=f(%)图像关于点(m,几)对称，则y=/(%)图像关于轴x=m对称结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数知识点六：三次函数的零点性质定理F定理一：己知三次函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(a0)的图象与X轴交点分别为Pl，P2,P3,点P是三次函数固象上
6、异于匕，P2,P3的一点，且y=/(%)在P点处的切线的斜率为心，pp-pp2,PP3的斜率分别为七，修心，结论：*0=自+0+七r4Xy证明设P(X0，r(%o),PGI,0),2(%2，0)，P3(x3,0)妍f(x)=Q%3+b%2+IWcx+d=a(x-x1)(x-x2)(-%3)，故f8=a(x-xi)(x-&)+(%-)C一%3)+(X-X3)(%一/)代入点P得,ko=/(x0)=a(-1)(-x2)(M)-X2)C0-X3)(%o-%3)(%0一修)1又k=a(x0 - %2)(%0 - %3)/(xo)-O_a(xor1)(xor2)(xo3)XQ-Xl*0M同理Q-QaO-
7、%)(%o-%3)，k3=Q(Xo-%2)(出-%1)，所以k。=k1+k2+k3,证毕.定理二：己知三次函数f(%)=ax3+bx2+ex+d(0)图像与x轴交点分别为P1，结论:儡 n = k + k2 + kP2,。3，点P(m，兀)是平面上任意一点，PPjPP2,PP3的斜率分别为七，一七，七证明设Pl(X1，0)P2(2*0)，Pa(3,0)，由题f(m)=a(m-X1)(m-X2)(m-X3)则k+k2+k3=3+3+3=U%+%+%q=Sf(m)m-m-2m-3r(m)Lm-m-2m-3Jf(m)所以黑n=k1+k2+k3,证毕.f(m)定理三：已知三次函数f(x)=ax3+bx
8、2+cx+d(0)的图像与X轴交点分别为Pla1，O),P2(x2,O),P3(x3,0),且f(%)在这三点处的切线的斜率分别为的，k2，fc3结论：+5+；=。，詈+孑+?=OAlk2k3kik2k3证明由题f(x)=ax3+bx2+ex+d=a(x-x1)(x-X2)(x-s)故f(x)=a(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-X3)+(x-x3)(x-XiG故工+2+2_=_+-_+-_=!+!+kk2k3f,(xi)f,(x2)f(x3)a(-2)(3)a(2)(2-3)a(3x)(32)所以J-+-L+-L=(X2-X3)+(X3-X1)+(X1-X2)=0X23_Xl+X2
9、_|_X3=XlX2kk2k3a(x1-X2)(x1-X3)(x2-X3)kk2k3f()f(x2)f(3)a(x1-2)(x1-X3)a(x2W)(x2f3)而氤F所续+菅X1(X2-X 3)+X2(X3-Xl)+Xl(XX2)a(xl-x2)(xl-x3)(x2-x3)0,证毕.定理四：已知三次函数f(x)=x3+bx2+CX+d(0)在其中心对称点Pa0,/(x0)处切线的斜率为(),且八)的图像与不轴的交点分别为PiQq,O),P2(x2,O),P3(x3，0)，f(x)在这三点处的切线的斜率分别为h，k2,k3,结论：c1+fc2+k3=-3k0证明由题f(x)=ax3+bx2+ex
10、+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)故f(x)=a(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3)(x-Xi)所以Iq=a(x1-X2)(x1-X3),k2=a(x2-x)(x2-x3)=a(x3-x1)(x3-x2)即比+k2+k3=a(x1-x2)(x1-x3)+(x2-)(x2-x3)+(x3-)(x3-X2)，化简得k+k2k3=a(2+X2+2-12-2x3-x3x1),又由韦达定理待X1+X2+x3=-2即XO=-A=-*母，所以fGo)=f小警)，代入导函数化简得a3a33/fGo)=-J(1+2+X3)2-3(12+23+X3X1)=-式Xj+2+X3-
11、xlx2-23-31)所以k1+k2+k3=-3f(x0),即11+12+13=-3%,证毕.F/定理五：已知三次函数,3)=3+b%2+c%+d(0)的图像与工轴的交点分别为7,-/PIa1，0),p2x2,0),p3(x3,0),过Pl的法线为3过P?的法线为，3,过2且与t广飞匚、/轴垂直的直线为心若。与交点为M,%与，2交点为N,结论：MN的中点恰为P2司证明由题f(x)=a3+bx?+cx+d=a(X-XI)(x-X2)(x-X3)/故f(X)=a(x-X1)(x-X2)+(-2)(-X3)(x-x3)(x-XlG故依广a-XgXLX3,卜=一审=-弘；(/),:令X=f(X3)=a
12、(x3-Xl)(X3-X2)Ik1=-2=-a(-2)(-3)I1f(3)a(x3-1)(3-2)所以yM+yN=o,即MN的中点为P2,证毕.知识点七：三次函数的割线性质定理定理一：已知在三次函数f0)=x3+b：2+c：+d(0)的图像上任取点P,过P作一条切线,切点为T,过P作一条割线,交点为M,N,结论:T点的横坐标平分M,Nxm+证明设M(X1，f(x1),N(x2,f(x2)P(X0，f(xo)，过P点的直线1：y-f(x0)=k(x-卜X。)则P,M,N既在三次函数图像上，也在直线1上，满足方程组/pSZy=ax3+bx2+ex+dy=ax+bx+cx0+d+k(x-x0),两式
13、相减得ax3bx2+exd-(ax+bx+cx0d)=k(x-x0)即a(x-x0)(x2+XoX+x)+b(x-x0)(x+x0)+c(x-x0)=k(x-x0)化简得a(x2+X0X+x)+b(x+x0)+c=k=ax2+(ax0+b)x+ax+bx0+c-k=0此时XX2是该方程ax2+(ax0+b)x+ax+bx0c-k=0的两根由韦达定理得Xl+X2=-手，同理当1是切线PT时，Xr=Xi=Xz=-誓F所以T点的横坐标平分M,N的横坐标，证毕./推论一已知在三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(0)的图像上任取点P,过点P作一条切线，切点为T,过点P作两条割线，交点分别为M,N与R,S,结论：T点、的横坐标平分M,N的横坐标，也平分R,S的横坐标，即2%7=%m+%n=%/?+%s/推论二：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+d(0)的图像上任取点P,过P0)的中心对称点为点P(Xo，/(%0)极大值为m，且f(%)=m的两报为与，x
