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1、用函数模型解决实际问题的基本步骤及考察的3个视角文/刘蒋巍一.用函数模型解决实际问题的基本步骤步骤L审题一一弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.步骤2.建模一一将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.步骤3.求模一一求解数学模型，得出数学结论.步骤4.还原一一将数学结论还原为实际问题.二.“函数模型”考察的4个视角视角1:利用函数的图象（图表）刻画实际问题例1高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为力时水的体积为则函数u=S）的大致图象是（B）【解析】y=z）是增函数，且曲线的斜
2、率应该是先变大后变小，故选B.变式（2020全国I卷）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度M单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（刘，y）（j=1,2,，20）得到如图所示的散点图：（变式）由此散点图，在10至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是(D)A.y=a+bxB.y=+b/C. y=+加AD. y=abnx【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是y=a+bnx.视角2：根据已知函数模型求解实际问题例2某种物质在时刻rmin的浓
3、度M(单位：mgL)与t的函数关系为M(f)=c+24(,广为常数).已知在f=0min和/=Imin测得该物质的浓度分别为124mgL和64mgL,那么在，=4min时，该物质的浓度为26.56mWL；若该物质的浓度小于24.001mgL,则整数f的最小值为13.(参考数据:Ig20.3010)+24=124,?【解析】由题意知彳一解得。=Ioo,厂=卓所以My)=IO0%w+24=64,D。z+24,所以M(4)=l(+24=26.56,所以在f=4min时，该物质的浓度为26.56mgL.由100+2424.001,Wr(0.1)5,所以Ig(I卜Ig(M),，从而知g-5,所以flg2
4、(lTg2)v5,由lg20.3010,得。12.5628,所以整数，的最小值为13.变式基本再生数RO与世代间隔7是某疾病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在某疾病的发病初始阶段，可以用指数模型/Q)=e描述累计感染病例数/随时间，(单位：天)的变化规律，指数增长率/*与Ro,T近似满足Ro=I+/T.有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在某疾病的发病初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69)(B)B. 1.8 天D. 3.5 天A.1.2天C.2.5天328-1【解析】因为Ro=3.28
5、,T=6,Ro=I+4,所以r=0.38,所以/Q)=e=e38r.设在某疾病的发病初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天，则e38）=2e38/,所以e38=2,所以0.38九=ln2,所以h=SU.JoU.Jo1.8（天）.视角3：构造函数模型求解实际问题例3已知生产口罩的固定成本为200万元，每生产X万箱，需另投入成本Pa)万元，当产量不足90万箱时，P(X)=+40x；当产量不小于90万箱时，P(X)Q1nn=IOLr+黄一2180.若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润M单位：万元)关于产量M单位：万箱)的函数关系式；【
6、解答】当0x90时，y=100x-a-2+40200=-r2+60-200；当於90时，y=100-(101x+8-2180)200=1980Q+贵詈)，所以yp?+60%200,0x90,(l8100、1980-卜+下J,x90.(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大？【解答】当OVXV90时，=-2+60-200=-(-60)2+1600l600；当x90时,y=l98O-G+31980-2-1=18001600,当且仅当X=W即x=90时，y取得最大值，最大值为1800万元.综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大，且最大利润为1800万元.变式劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报社会的一种良好形式.某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为工件时，售价为S元/件，且满足S=82O2x,每天的成本合计为600+2(k元，请你帮他计算日产量为，件时，获得的日利润最大，最大日利润为7.94万元.【解析】由题意易得日利润y=sx(600+20x)-x(8202x)(600+20x)=-2(-200)2+79400,故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大日利润为7.94万元.
