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1、随机事件与概率一、学习目的和要求1 .掌握事件等的基本概念及运算关系；2 .熟练掌握古典概率及计算；3 .理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；4 .熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；5 .理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算;6 .掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。二、内容提要（一）基本概念概念符号概率论的定义集合论的含义随机试验（试验）E具有以下特征的观测或试脸：1 .试脸在相同的条件下可重复地进行2 .试验的所有结果事先已知，且不止一个3 .每次试验恰好出现其中之一，但试脸前无法预知到底出现哪一个结果。样本空间试验所有可能结果组成的集合，即所有基本事件的全体全
2、集基本事件（样本点）试验的每个不可再分的可能结果，即样本空间的元素元素随机事件（事件）A试脸中可能发生也可能不发生的结果，是由基本事件组成的样本空间的子集子集必然事件在试验中一定发生的事件全集不可能事件0在试验中一定不发生的事件，不含任何基本事件空集（二）事件间的关系关系符号概率论的定义集合论的含义包含AUB事件A的发生必然导致事件8的发生力是8的子集相等A=B力=8而且B-4与8相等和（并）A+B(AU0)事件彳与8中至少有一个事件发生4与8的并积（交）事件彳与8同时发生/1与8的交差A-B事件力发生同时8不发生彳与8的差互不相容AB=事件力与8不可能同时发生彳与8不相交对立A事件彳不发生A
3、的补集（余集）（三）事件的运算规律运算律公式交换律A+FB+A,AFBA结合律(8)+C=(8+。，38)OA(Be)分配律(8)OAOBCy麻(BC)=(A+B)(C)差积转换律A-B=AB=A-AB对立律AA=0,4A=德摩根对偶律A+B=ABfAB=A+B（四）概率的定义类型定义公式古典概率P（八）二m_A所含的基本事件数基本事件总数统计概率P(/4)=P(m（八）=-)n公理化定义（基本性质）对样本空间中任意事件4对应的一个实数。（，满足公理1（非负性）：OWHWl公理2（规范性）：P（）=1,P（0）=O公理3（可加性）：若4,4,，4,，两两互不相P(4+4+4+)=P(4)+P（
4、八）+P（八）)+则称P3）为随机事件彳的概率。（五）概率的计算公式名称计算公式加法公式P(48)=P（八）+P(B)P(AB)若48互不相容3生0)：P5B)=P（八）+P(B)对立事件公式P(4=1P(W);P（八）=I-P(事件之差公式P(A-B)=P(Ay)-PQA由若84P(A-B)=P3)-P(B)条件概率公式P(BlQ=(Pa)0)尸（八）乘法公式若P3)0,P(AB)=P3)P(A)若P(B)0,P(48)=PQB)P3IB)当P(4A-1)。时，有P(444)=P(4)P(4I4)P(4I44)P(4444)独立事件公式A.8相互独立：P（A的=P5P4,4,4相互独立：P(
5、444)=P(4)P(4)P（八）全概率公式若4,A2f，4为完备事件组*,对事件8MB)=SP（八）P(BIAj)1-1逆概率公式（贝叶斯公式）若4,4,，4为完备事件组*,P(0OP(Aj)P(81Aj)P(AjB)=-一L之P(Aj)P(8A)Z=I*完备事件组1.4,4,，4互不相容且P(4)0(H,2,，4,4,42o4+4+Xf第三章随机变量及其分布一、学习目的和要求1o理解随机变量及其分布函数的概念；2 .熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质；3 .熟练掌握常用数字特征：数学期望（心和方差。（心及其性质；4 .熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算；5 .了
6、解随机变量函数的分布：6o了解随机向量及分布函数的概念、性质；7o掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布；8o掌握二维随机向量的数字特征；9. 了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义；10. 掌握中心极限定理及其应用；11. 了解用EXCel计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率.二、内容提要（一）随机变量及常用分布1 .离散型随机变量及常用分布名称定义性质或背景备注分布律Pxf=pt,tA=1,2,或1oA0,A=1,2,2pt=1hlXXiXiXkPPPlPk01分布P或XPz1=P,P*0=q01QP二项分布方1的特例：8(1,p)(一重贝努里试验)E器PD()-pq二项分
7、布B(“)Px=/(=CpkqfA=O,1,，n彳为重贝努里试验中彳事件发生的次数ERnpP()=-npq泊松分布A)PX=k=3Le-fkA=O,1,2,-,0是常数二项分布泊松近似公式c：PLsS今(=np)(很大，夕较小)E能D(X)=超几何分布kz-PX=k=LMLN-M./A=1,2,min(Kn)无放回产品抽样试验当M+8时，/N时，IimCWM=CPkqi+禺E能也NnvM(Nti)(N-M)D(X)=；M(N-I)2 .连续型随机变量及常用分布名称定义性质或背景备注密度函数f(x)对任意水6有Pa-fbf()dxJa1. O202. fff(x)dx=J-B3o对任意常数a,有
8、PX三a=0等价定义：对X的分布函数有F(X)=-+正态分布N(,2)f(X)=1e-_8K+Pab=Zb-IA、4一、(-)-(-)E(X)二DCX)=2标准正态分布N(0,1)(X)二-7Uj2-ooK+oo1. (-x)=1(X)2. (x)可查表EX)=0P(X)=1计算其中(X)是分布函数指数分布()/*)=exyx0(),x0x0若/服从对数正态分布LN(/,2),则InM,2)E(X)=eZXX)=(e2-l)e2韦布尔分布欣叫,)F0,()xaxa加二1且二0时为指数分布;加=3o5时近似于正态分布分布函数为(x-afr(x)=l-e,(X)3 .随机变量的分布函数类型定义性质
9、备注通用定义F(X)=P启x,-oo+oo1. 0F(x)1;2. 7(-oo)=O,FG)=13o厂(x)对X单调不减4oF(%)为右连续Pab=Ab)一尸(a)离散型X户(X)NP,，xlx-8VxV+8Pk=PX=k=F(Xk)-F(Xk-O)连续型XF(x)=j刈，-+尸(x)=F(x)Pa)2J1. D(0=0(C为常数)2. D(C)C)=C2P（八）3o若Ky相互独立，则DXr)=D(Z)+D4.D(X)=F(Y)-(E2描述随机变量取值相对于均值的平均离散程度标准差（X）(x)=D(x)=JEKX-EX协方差COV（尤Cov(X,X)=(/-(X)(/-(r)=(/r)-E(X
10、)-E(力1 oCov(aX、bY)-abCov(尤Y)2 .Cov(%H,Y)=Cov(%,Y)+Cov(,力3 .4与Y独立Cov(其力二O40D(/及=P(Z)+P(K)2Cov(X,Y)描述X与y的偏差的关联程度相关系数XY_COV(XMPxY呵X)氏Y)1. IXYI1；2. |=1存在常数a、b使得P右ab=1;3. 彳与y独立彳与y不相关，反之不一定成立。描述彳与y间线性相关程度；XY=0,称X与y不相关；（三）随机变量函数的分布类型）的分布函数片仪刀的分布数学期望公式离散型X的分布律P*z*J二04,A=1,2,y的分布律为P()=Pk,H,2,。若有某些g(x,)相等，则对其
11、作适当的并项，即对应概率相加E(Y)=EIg(X)=Zg(XJp*连续型方的密度为分布函数法：Fy(S=Pry=Pg(X)y=fx(x)dxJ(xg(x),vX右g()的密度：fy(。二尸(y)E(Y)=Elg(X)fx(X)定理公式法：=+1g(x)(x)dx若y=g/7W)是f(y)=(X)在分(X)非零区间上严格单调，*g(x)的反函数(,)(y)Lay2op,=lf=l=li联合分布律的列表结构(概率分布表)X的边缘分布PX=Xj=ZPy=Pr,?=z=l,2随机变量彳的分布律由联合分布律“行值相加”y的边缘分布户卜=力=gp*=P./,/=1,2,.随机变量Y的分布律由联合分布律“列值相加“独立性彳与丫相互独立Pij=PiPrAj=1,
