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1、典型例题：平方根例1说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系.解：(1)一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根.(2)一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数.例2如图，把12个边长为ICm的正方形拼在一起.(1)算出力点到反C、D、E、产之间的长度.(2)以图中4B、C、D、E、产中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形.“分析：利用勾股定理可以算出4点与C、D、E、尸各点的距离.(2)找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形.解:(1)A3=3cm.A
2、C=42+12=7cm.AD=42+22=20=45=25cm.E=42+32=25=5cm.AF=22+32=13cm.(2)图中ACEF,BE尸是等腰三角形，因为EC=EF=2cm,因此尸是等腰三角形.又因为BE=Bb=疹T=WCm,因此ASEF是等腰三角形.例3在直角三角形ABC中，。、方是两条直角边，c为斜边，假设4=9.23为=13.46,求。的长(精确到O01).分析：根据勾股定理/+从=。2,代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出C的值.解：Ta2+b2=c2,且4=9.23,6=13.46,例4求以下各数的平方根.22(1) 9(2)3(3)0.8149解：,(3)2=99的
3、平方根是3,BP9=3.(1.2216913/169UJ.3=,()=,4949749登的平方根是以，即碍=?(3)V(0.9)2=0.810.81的平方根是0.9,即土而丽=土0.9.说明：命题目的：给出一个正数，会求出平方根.解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数.错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误.例5求以下各数的平方根和算术平方根.(1)0,0064(2)2(3)1-()2(4)(-7)24913解答：(1)因为(0.08)2=0.0064,所以OOO64的平方根是0.08算术平方根是0.08.(2)因为22=U其，而(12)2=32,所以22的平方根是土竺，它的算术平方根是w.
4、49497494977(3)因为l-(l=169-144=g而(3)2=，所以wU)2的平方根是土工，它的算术13132169131691313平方根是13(4)因为(-7)2=49,而(7)2=49,所以(-7)z的平方根是7,它的算术平方根是7.说明：此题考查求平方根和求算术平方根的方法.因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根.当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误.例如，说(-7)2平方根是-7,就错了.例6求以下各式中的x：(1) X2-289=0(2)(x+1)2=81
5、.分析：根据平方根的定义，或/=/,那么工=&(fz0),其中(2中*+1)看成一个整体，先求出(x+l)的值，再求X的值.解答：(1),/X2-289=0,即2=289.(2) .(x+1)?=81,当x+l=9时，x=8;当x+l=-9时，x=-10.例725dT44=0,且X是正数,求代数式2j5x+13的值.分析：只要求出X的值，代入代数式2其币J就可以了，关键是解方程.解答1：由25/-144=0得Y=出,=-,又.0,Ax=-.2555当X=乜时,2j5x+13=2、5,工+13=2后=10.5V5解答2:由259-144=(),得25/=144,三P(5x)2=144,5x=12
6、.把5x=12代入2j5x+13,得2j5x+13=2J12+13=2后=10.例8如果Jx+1+JyJx4y+z=O,求x,y,z的值.分析：条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解.解答：*/x10,yy-30,yx+y+z0x+1=0丁应有，y-3=0x+y+z=0,x=-l解得y=3z=-2.说明：求解此题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果假设干个非负数的和为零，那么每个非负数都必须为零.例9选择题：以下命题中真命的个数是().(1) 04=0.2;(2)=- 4(3) 一22的平方根是-2；(4)斤斤的算术平方根是-3；794(5
7、)是1兰的平方根；(6)0的平方根是0,0没有算术平方根；(7) 525(8) 1.的算术平方根是24（八）1(B)2(C)3(D)4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.(1).(0.2)2=0.(U0.4.0.2不是0.4的算术平方根.故(1)是假命题.(2)题中椁是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以(2)也是假命题.(3)题中-22=-4,由平方根性质：负数没有平方根.所以(3)也是假命题.(4)中右豕的算术平方根应是正数，而-3是个负数，不符合算术平方根的定义.故(4)也247.1舛的平方根是.此为真命题.是假命题.255(6)0的平方根0就是0的算术平方根，故
8、(6)题也不正确.(7)求1的算术平方根，应是对L进行开方运算，而非平方运算.故此命题也不是真命题.22解答：应选（八）说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念.其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算,0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.例10如果一个数的平方根是。+3与2-15,那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(+3)+(20-15)=0,解得。=4,当=4时，a+3=7,即两个平方根分别为7和-7,故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.
