极小多项式.docx

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极小多项式?在抽象代数中,一个域上的代数的元素之极小多项式(或最小多项式)是它满足的最低次多项式。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。1.形式定义设为域,为有限维-代数。对任一元素,集合张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系:可以假设,此时多项式满足。根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为的极小多项式。由此可导出极小多项式的次数等於,而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零,此时可以表成的多项式。2,矩阵的极小多项式考虑所有矩阵构成的-代数,由於,此时可定义一个矩阵之极小多项式,而且其次数至多为;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为,且其根属於该矩阵的特徵值集。极小多项式是矩阵分类理论(约当标准形、有理标准形)的关键。3,极小多项式与代数扩张设为的有限扩张,此时可视为有限维-代数。根据域的性质,极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

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