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1、第3讲函数的极值与最值函数的极值极值问题是导函数的一个直接应用,极值点作为单调区间的分界点和函数最值点的候选点,在研究函数单调性和最值时具有重要意义.极大值与极小值统称为极值,我们先来看相关定义：(1)极大值:一般地设函数/(同在点/及其附近有定义,如果对方附近的所有的点都有/()题),就说了(0)是函数“X)的一个极小值,记作y极小值=/)，其中与是极小值点.看上面对极值点和极值的一般定义,我们要注意以下几点:一是极值点和极值的定义不要搞混淆;二是极值是一个双边定义:极值点的两边函数都有定义,极值才存在;三是极值具有局部性,极值是函数局部的最值,一个函数区间内可存在多个极值.在高中阶段,我们
2、可以简单地理【解析】一阶导函数为零的点即为原函数的极值点,一般来说,做大题不会出错,不过保险起见还是需要验证一下极值点两边一阶导数是否变号,即原函数单调性是否改变.需要注意的是,极值点处导函数可能不存在,比如函数/(x)=k-1,x=l是函数的极小值点,但在极值点处导函数是不存在.这是大学要研究的内容,不需要过分纠结.极值问题的两种考查方式:一种是直接求极值点(极值),一般步骤是求导,解出导函数的零点,即为函数的极值点(求解后需要验证),如果含参数的话还要分类讨论一下.再求极值.另外一种就是给出某个点是极值点,来求解参数的取值范围.求无参函数的极值点和极值求极值点的步骤：筛选:令/(无)=0求
3、出r(x)的零点(此时求出的点有可能是极值点).(2)精选:判断原函数在广(力的零点左、右两边,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点.(3)定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减是极大值点,先减后增是极小值点.通常,判定一个点是极大值点还是极小值点我们有两种充分判别条件:第一充分条件:设函数/)在点/的某个邻域内连续且可导(广(无0)可以不存在).若在与的左邻域内,r(Ho.在/的右邻域内,r(x)o,则/(力在/处取得极大值”0).(2)若在的左邻域内,r(x)0,则/(x)在/处取得极小值X0).(3)若在与的左、右邻域内(X)不变号,则了(
4、“在人处没有极值.注意:第一充分条件利用一阶导数符号来判断函数单调性时,为了快速判别,我们只需要在极值点飞的左边或者右边取一个特殊值验证一阶导函数的正负号即可(这个方法我们称为特殊值法).第二充分条件:设f(x)在处具有二阶导数,且()=O,()OJIiJ(1)当/(/)0时,函数/)在/处取得极小值.注意:利用驻点处二阶导数符号来判断驻点是否为极值点时,二阶导函数的正负号淇实决定了一阶导函数的单调性.解题时,为了快速判别,我们可以直接判定决定一阶导函数正负号部分函数的单调性,一阶导函数为增-是极小值点,一阶导函数为减是极大值点.为极大值点(这个方法,我们称之为一阶单调性法).【例1】求函数y
5、=x-ln(l+x)的极值.【例2】求函数/(0=；/一/一3X的极值.已知极值/极值点反求参数题型:已知含参函数/)的极值点为%,在极值点与处的极值为先,求参数.方法:列出方程组，求解参数即可./()=jo【例1已知函数/(x)=+Z?InLr在X=I处有极值;,求实数,b的值.【例2】已知函数/(x)=x网二1-2HIlr(R),若函数/(同在x=2日寸取得极值,求实数。的值.【例3】已知函数/(工)=3加-|工2+121,其中2若函数/()在1=1处取得极大值,求实数。的值.已知极值点反求参数范围(第二判别法)对于已知极值点来求参数取值范围的题目,我们一般有两种解法：方法一:分类讨论,求
6、出导函数r(x),确定r(H=o的根,然后由根分实数为若干个区间,讨论各区间中广(”的正负,得单调区间,若在与左侧递减,右侧递增,则与是极小值点;若在与左侧递增,右侧递减,则凡是极大值点.方法二:第二充分判别条件验证,求出二阶导函数,当/(o)0时,函数八力在与处取得极小值,来快速求解参数取值范围.注意:这个是充分条件,一般用来验证答案,不作为解题过程,可作为分析过程。例1已知函数/(力=火2一(4。+1)工+44+3卜,(工0),若/(力在工=2处取得极小值,求。的取值范围.2【例2】己知/(x)=hr-巴幺2+ar(o),若函数/(同在冗=处取得极大值,求实数。的取值范围.【例3】(已知函
7、数f(x)=ex-X-磔In(X+1)-1,函数/(x)在X=O处有极大值,求。的取值范围.函数的最值最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来,最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点,由最大值和最小值可以确定函数的值域,我们来看最值的具体定义：(1)设函数/(N)的定义域为。,若%o,使得对x。均满足)K),那么称X=/为函数(x)的一个最大值点,称为函数/(x)的最大值.(2)设函数/(尢)的定义域为D,若玉Oer),使得对xO均满足/(x)(x0)z那么称/为函数/(力的一个最小值点,为)称为函数/(x)的最小值.最值是函数的一个重要特征值,研究最值可以得出函
8、数值域,也可以用在求解不等式相关的问题中.【例】证明不等式hvrx-1,则构造函数/(X)=Inr-无+1,可通过导数求出/(x)nn=1)=0,由此可得到对于任意的X0,均有/(x)(x)ma=。做lnx-x+10,Inxx-1,那如何求解出函数的最值呢?当然还是用到我们的导数来求解,最值问题通常会结合前面所学的单调性、极值和边界值最终来确定最值,下面我们一一讲解.求无参函数的最值题型:求函数/(x)在XL,上的最大值/(x)nax和最小值/(x)nin.方法步骤:一般来说,最值点只可能在极值点或者边界点处产生,对于无参函数最值的解题步骤如下：第一步:求出极值点和极值,r(%)=o=极值为/
9、(x0).第二步:求出边界值,即M和/.第三步:比较极值和边界值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.【例1】函数八力=/+1,求/(x)在区间e上的最大值.【例2】已知函数F(X)=也+x,判断/(x)的单调性,并求“力在Le上的最Xe值.讨论含参函数的最值讨论含参函数/(冗)在区间目上的最值,核心在于求出久)在区间以上的单调性和极值,对于最值、单调性和极值之间的关系,有如下常用结论：(1)若函数在区间可上单调递增或递减,则/()与/伍)一个为最大值,另一个为最小值.(2)若函数在区间,句内有极值,则要先求出函数在,例上的极值,再与/，/S)比较,最大的为最大值,最小的为最小值.(3)函数
10、力在区间(0。)上有唯一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.除上述结论外,我们解题时通常会碰到一种求最大或者最小值的常考模型：最大值模型:求解含参函数y=/kyx)(k为参数)在X,句上的最大值ynm解题步骤：第一步:求出含参的极值点,这个极值点一般为极大值点,并用参数表示,即/(匕)=0n=g(无)第二步:把极大值点/=g(%)分在区间x4,以的左、中、右三种情况来讨论.当极大值点在区间左边时,即x0=g(z)m函数y=/化力(攵为参数)在xw,可上单调递减,则ymax=/(tz).当极大值点在区间中间时,即av%=g(Z)v),函数y=Z,x)(Z
11、为参数)在x,0上单调递增,在xxo,b上单调递减,则ymax=F).当极大值点在区间右边时,即x0=g(Z)b,函数y=/(kx)(Z为参数)在工耳,可上单调递增,则=/(/?).注意:求最小值的模型类似,可自行总结。例1已知为实数,函数)=7(x-a),设g()为/(x)在区间0,2上的最小值,请写出g()的表达式.例2已知函数/(x)=5-e(0),求函数/(X)在1,2上的最大值.【例3】求g(x)=MX+2d-QX-4x在区间1,上的最小值Ma).已知最值反求参数反求参数问题是给出函数在区间上的最值,来反求参数,其一般步骤是：第一步:按照上一节的步骤,先讨论出含参数单调性和最值,这个最值通常含参数.第二步:带人已知的最值反求解参数,求解后验证,不满足则舍去.【例1】已知函数x)=f2班.讨论力的单调性.(2)若“力在L+e)上的最大值为1,求。的值.【例2】已知函数/(x)=IrLV-3RX讨论函数“力在定义域上单调性.(2)若函数力在口上的最小值为求。的值.【例3】已知函数g(x)=lnx-;Or(X0),若g(x)的最大值为-1,求。的值.
