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1、第四章逻辑代数初步逻辑代数又称为布尔代数，是开关电路与逻辑电路设计的重要依据，同时也是学习计算机相关知识的重要基础。应用逻辑代数可以使电路设计及程序开发简便化，能够解决很多实际的问题。本章主要介绍了二进制、逻辑变量、逻辑图与逻辑代数的运算律、卡诺图及其应用等内容。4.1二进制4.1.1二进制与十进制及其转换问题在生活中我们经常与数字打交道，当然数字有不同的计数方法，人们习惯使用十进制(decimal)的计数方法。那么什么是进制，生活中除了十进制还有其他的进制吗？新知识数制(numberSyStCm)是计数方法和进位规则的简称。人们习惯使用十进制(decimal)的计数方法，而在数字系统中多采用
2、二进制(binary),有时采用八进制(OCtaI)或十六进制(Hexadecimal)e在本节课，我们主要在自然数范围内研究进位制。十进制数的数码符号(或数码)有十个，为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。我们将数码符号在数中的位置称为数位。每个数位上的可以使用的数码个数称为该计数制的基数。如，十进制数的每个数位上可以使用十个数码符号，所以十进制的基数是10。每个数位所代表的数称为“权”。十进制数低位和相邻高位之间的进位关系是“逢十进一”，第一位、第二位、第三位，它们的权分别是10。、10、IOL即，第立的权是10。任意一个十进制自然数可以表示为(O)o=KjIOiZ=O即(D)=xrn
3、.1onl+n,2o,2+.+kqio0(4-1)式中，D的下标10表示十进制的基数；i是字符在自左至右排起来的数列中的位置数;Kj是第位的系数，可以是09中任何一个数字符号；10是第位的位数；知识巩固例1将十进制自然数(2568)o表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式解根据公式(4-1)(2568)io=21O3+51O2+61O,+81Oo新知识目前，在数字电路中应用最广泛的是二进制。在二进制数中，每一位仅有0和1两个可能的数码，计数基数为2。低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”。第一位、第二位、第三位，它们的权分别是2。、2、22.,即第,位的权是2，任意二进制自然数D可以表示
4、为W-I2=Kg1=0即(D)2=Kn,l2n-Kn_22n-2+.+K020(4-2)式中，D的下标2表示二进制的基数；i是字符在自左至右排起来的数列中的位置数；Kj是第位的系数，可以是0,1中任何一个数字符号：2是第位的位数;知识巩固例2将自然数(IOli1)2表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式解根据公式(4-2)1()1ll=l24+O23+l22+12+l20新知识例2中，我们已经得到lolll=IX24+0x23+1x22+1x2+1x2,将这些数字计算出来，就把二进制数换算成了十进制数。l24+023+l22+l2,+l20=16+4+2+1=23即(IOlll)2=(23
5、)101 .二进制数转换为十进制数的方法将二进制数按权展开后，将各乘积项的积算出来，再将各项积相加，就可得到等值的十进制数。那么，如何将十进制数换算成了二进制数呢？2 .十进制数转换成二进制数的方法：十进制整数转换成二进制数，用除以2取余数的方法(余数只有.。和1)。第一次除以2所得的余数是转换后所得的二进制数的最低位,第二次除以2所得的余数是转换后所得的二进制数的倒数第二位，以此类推，最后一次除以2且商为零时所得的余数是二进制数的最高位。3 在将十进制数23转换回二进制数：2余1最低位2位232U余1一,位25八22位22AC23位余O2U一余124位0余025位按照从下往上的读取方向，我们
6、得到：(23)i0=(124+023+122+12,+120)i0=(IOlll)2我们将两种进制的权罗列如下，见表4口。表4-1十进制与二进制的对照从右数的位数I76543210十进制的权I100000001000000100000100001000100101二进制的权1286432168421知识巩固例3将二进制数IlOlll转换成十进制数解先将二进制数IlOlll表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式根据公式(4-2)有11O111=125124+O23+122+12,+12o将上式右边求和得到(110111)2=(55)10例4将十进制数(37)o转换成二进制数最低位 2。位解用
7、除以2取余数的方法求23722位21823位292424位2Ll25位按照从下往上的读取方向，我们得到：(37)io=(125+024+023122+02,+12o)io=(100lOl)2练习4.1.11 .将十进制自然数(1457)10表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式2 .将二进制自然数(IIOlOI)?表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式3 .将下列二进制数转换成十进制数(1) 1010(2)IOllOl(3)100014 .将下列十进制数转换成二进制数4. 8(2)28(3)1000(4)10015. 1.2二进制数的运算问题我们对十进制数的算术运算都是非常的熟悉，那么
8、二进制数的算术运算是怎样的，如何求(UO)2+(111)2呢？新知识二进制数的算术运算比较简单，与十进制算术运算类似，它的基本运算是加法运算和乘法运算。二进制数的基数为2,低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”.因此二进制数的加法运算法则为(1) 00=0;(2) 0+1=1；1+0=1；(3) 1+1=10(逢二进一，向高位进位1).二进制数的乘法运算法则为(1) 0X0=0；(2) 0l=l0=0;(3) 1X1=1.想一想：二进制数的减法和除法运算法则是怎样的？知识巩固例5求(IOllOl)2+(1011)2的值.解根据二进制数的加法运算法则得IOllOl+IollIllOOO即(IO
9、llOl)2+(1011)2=(IllOOO)2例6求(Iolo)2(IOll)2的值.解根据二进制数的乘法运算法则得1010XIoII101010100000010IlOll10即(1010)2(IOll)2=(1101110)练习4.1.21.计算下列各题(1) (IOl)2+(IO)22.计算下列各题(1) (IOl)2X(IOl)2(2) (HOl)2+(IOl)2(3) (101101)2+(IOlO)2(2) (1001)2(lll)2(3) (110101)2(1010)2课后练习习题A1 .将十进制自然数(2517)o表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式2 .将二进制自然
10、数(IIOuI1%表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式3 .将下列二进制数转换成十进制数(1) Ill(2)1010101(3)100114 .将下列十进制数转换成二进制数(1) 5(2)15(3)1005(4)901习题B1.计算下列各题(1)(Ill)2+(IO)2(2)(111)2+(11)2(3)(IOlll)2+(IllO)22.计算下列各题(1)(IO)2X(Ill)2(2)(IOl)2X(Ill)2(3)(110101)2(110)24.2逻辑变量4.2.1 逻辑变量与基本运算实例1849年，英国数学家乔治布尔(GeOrgeBooIe)首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方
11、法，被称为布尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析和设计上，所以布尔代数叫做开关代数或逻辑代数。那么逻辑代数是如何解决开关电路和数字逻辑电路的分析和设计呢？新知识观察两个开关相串联的电路，如图4-1所示。由串联电路的性质容易知道，只有当开关A与B同时闭合时，电灯S才会亮；只要其中有一只开关没有闭合(4没有闭合或者8没有闭合)，或者两只开关都没有闭合，那么，电灯S不会亮。图41将开关A、8与电灯S的状态列表如下，见表4-2。表4-2开关A的状态开关8的状态电灯S的状态闭合闭合亮闭合断开不亮断开闭合不亮断开断开不亮容易看出，电灯S的状态取决于开关A、8的状态，它们之间具有
12、逻辑关系.逻辑是指事物的因果关系，即事件的发生和决定该事件发生的条件之间的因果关系。开关A、B与电灯S的状态都只有两种情况。我们将这样的变量称为逻辑变量，用英文大写字母表示。逻辑变量只有两种取值“0”和“1”。这里的“0”和“1”称为逻辑常量，仅代表两种对立的不同逻辑状态，无数量上的大小关系。如灯的亮与灭、电路的通与断等。将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.表4-2可表示为表4-3.表4-3开关A的状态开关3的状态电灯S的状态111100010000当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事才会发生，我们将这样的逻辑关系称为与逻辑关系，在开关相串
13、联的电路，如图4-1所示，只有当开关A与8同时闭合时，电灯S才会亮。我们把这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量8的“与”运算(或逻辑乘法运算)，若S就是A与8的结果，则把尸叫做A、8的逻辑积，记作A8=S(或A3=S),读作“A与B”或“A乘B”为运算符。其运算规则，见表4-4.表4-4ABA.B=S111.1=1101.0=0010.1=0000.0=0观察两个开关相并联的电路，如图4-2所示.图42将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.将开关A、8与电灯S的状态列表如下，见表4-5表4-5开关A的状态开关8的状态电灯S的状态1111010110
14、00当决定事件发生的条件至少有一个具备，这一事件就会发生。我们将这种逻辑关系称为或逻辑关系.当开关A与开关B至少有一个“合上”时，电灯电灯S就会亮.我们把这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量8的“或”运算（或逻辑加法运算），若S就是A或B的结果,则把尸叫做4、8的逻辑和，记作A+3=S（或AVB=S）,读作“A加B”或“A或B”,为或运算符。其运算规则，见表4-6。表4-6ABA+B=S111+1=1101+0=1010+1=100()+0=()想一想：表4-6中的1+1=1代表的是什么含义？观察电灯和开关相并联的电路，如图4-3所示。I将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.将开关A与电灯S的状态，见表4-7。表4-7开关A的状态电灯S的状态1OO1我们将事件的发生和条件的具备总是相反的
