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1、北师大版(2019)选择性必修一第三章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1.己知=(1兀2/1,0)=(3,Z),则忸一。|的最小值()A.亚B.叵C.-D.叵33332.在正方体48CO-4BCa中,点E为上底面Aa的中心,若4巨=A4,+jMB+y4),则XJ的值是()A.X=,y=B.X=1,y=C.=Ly=lD.X=1,y=122223 .如凰在三棱柱ABC-小产中,Q分别是CRA8的中点,pQ=A8+ZMC+cA。,则+b+c=()A.lB.-lC.0.5D.-24 .已知正四棱柱48CO-48CQ中,4A=2A8,则C。与平面BDG所成角的正弦值等于()
2、A.-B.立C.立D.133335 .如图,在底面为正方形的四棱锥P-45。中,己知PA_L平面ABC。,且4=AB.若点M为PO中点,则直线CM与PB所成角的大小为()P,CBA.60oB.45oC.30oD.90o6 .如图三棱柱48。-486中，6是棱械的中点,若比1=，水;%，3=。，则。6=()7 .在空间直角坐标系。孙Z中,已知A(l,2,0),3(0,1,2),C(l,0,2),则点O到平面ABC的距离是()A0B3c5d228 .如图,在平行六面体ABCr-4gCa中,ab+AO-CG=()CDBD-DB1二、多项选择题9 .在如图所示的空间直角坐标系中，48CO-A4G。是棱
3、长为1的正方体，贝J()A.平面AB与A的一个法向量为(0,1,0)B.平面BC。的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABCR的一个法向量为(0,1,1)10 .如图,在三棱柱ABC-A1BCI中,侧棱AAlI底面AqG，NKAC=90。，AB=AC=AAi=IiD是棱CC1的中点,P是AD的延长线与AG的延长线的交点.若点。在直线旦P上,则下列结论错误的是()A.当Q为线段用尸的中点时,OQ_L平面ABQB.当Q为线段BF的三等分点时,OQ平面ABDC.在线段BF的延长线上,存在一点Q,使得OQ_L平面ABDD.不存在点。,使与平面AiBD垂直1
4、1 .在棱长为2的正方体ABCO-A4GA中，P是棱AB上一动点,则P到平面ACQ的距离可能是()d2212 .在三棱锥A-BCD中,OAQBQC两两垂直,且OB=DC,E为BC的中点,则直线AE和BC()A.垂直B.相交C.共面D.异面三、填空题13 .已知空间向量i(2,1,2),0=(1,2,2),则忸。卜.14 .已知平面。一个法向量为=(一1,一2,-2),点A(U,0)为内一点,则点尸(1,0,T)到平面的距离为.15 .如图,在三棱锥O-ABC中,。是BC的中点,若OA=兄,08=OC=C，则Ao等于16 .如图,在长方体CD-AgCQ中百尸分别为40,3G的中点,G是线段EF上
5、一点,满足EF=4GF若D1G=xf1A+yD1B1+ZAC,则x+y+z=.四、解答题17 .如图,四棱锥尸-ABCD的底面为正方形,尸DJ_底面ABCD设平面玄。与平面PBC的交线为/./DcyV(1)证明：/_L平面PDC;(2)已知H)=Ae=1,Q为/上的点,求PB与平面QC。所成角的正弦值的最大值.18 .如图,在四棱锥尸ABCD中,平面尸8C_L平面ABeQ,底面ABCO是矩形,。石分别是BC1PA的中点,平面经过点0,D,E与棱PB交于点、F.(1)试用所学知识确定尸在棱PB上的位置；(2)若尸B=尸C=6,8C=2AB=2求E/与平面PC。所成角的正弦值.19 .如图，在直三
6、棱柱4BC-AMG中，。,E分别为BC,AC的中点，A3=8C.求证：(1)44平面。EC;(2)BEIC1E.20.如图，正方形ABCo的边长为2,四边形3。所是平行四边形，B。与交AC于点G,。为GC的中点，Fo=且b。_L平面45CD求证：(1)AE平面BCF；(2)CF_L平面AEF21 .如图，己知空间四边形ABC,E,”分别是边A3,AO的中点，F,G分别是边CB,Co上的点，且C户=C8,CG=CD.用向量法证明：四边形K汨是梯形.22 .如图,在直三棱柱48C-AAG中,AC=LBC,E产分别为四，CR的中点,且EF_L平面AAIGC.(1)求AB的长；(2)若A41=2,求二
7、面角C-AE-A的余弦值.参考答案1 .答案：B=即酒喟*解析：由题可知,b-=(2+f,T+l),故W-N=+2)2+(1-1)2+=J3/+2Z+5423故选:B.2 .答案：A解析：根据题意,结合正方体的性质，故选：A.3 .答案：B解析：如图,连接CQ.因为RQ分别是CEAB的中点，Pe=PC+Ce=FC+(CA+CB)=-AD+(-AC+AB-AC)=AB-AC-AD,贝IJa+b+c=-故选：B.4 .答案：A解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设AB=AD=I,AA1=2则DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2)设平面BDCl的法向量为=(%,y,z)
8、,则卜=f=,令z=l,则y=-2,x=2,所以=(2,-2,l)小。G=y+2z=0设CD与平面8。G所成角为,则Sine=,dc=-.Hl-W3故选：A.5 .答案：C解析：如图所示：以A为坐标原点,以AB,AO,AP为单位向量建立空间直角坐标系A-Xyz,设网=1厕A(W),C(l,l,0),M(0,g,；p(0,0,l),5(l,0,0),故PB=(LoT,MC=(W),PBMC叫即向.岛,由异面直线夹角的范围是(0。,90。,故直线CM与PB所成角的大小为30。.故选：C.6 .答案：B解析：由己知可得M=BA-3A=1-，因为G为棱AAl的中点,则11Z11CG=CA+AG=BA-
9、BC+AA=a-b+-c-a=-a-b+-c22、,22故选:B.7 .答案：B解析：依题意可得A8=(T-l,2),8C=(l,T0),OA=(l,2,0),设平面ABC的一个法向量为=(X,y,z),ElnAB=-x-y+2z=0八rlll-hr.z、则，令X=I,则可得y=l,z=l,即=(LI/)，nBC=x-y=O故选:B8 .答案：B解析：连接AC、AC,可得AB+AO=AC，又Cel=A4,所以A3+ACG=AdAA1=AC故选:B.9 .答案：AC解析：由题意，知A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,l,0),D(),l,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1)，D1
10、(0,l,l),AS=(0,1,0),A_L平面AB耳4，故A正确；CD=(-1,0,0),fi(l,l,l)(-l,O,O)=-lO,.(1,1,1)不是平面BCD的法向量，故B不正确；B1C=(0,1,-1),CD1=(-1,0,1),(l,1,l)(0,1,-1)=0,(1,1,1)(-1,0,1)=0,又4LCR=C,.(1,1,D是平面BCA的一个法向量，故C正确；BC1=(OJJ),且(0,l,l)(0JI)=2w0,.(0,l,l)不是平面ABCQ的法向量，故D不正确.10 .答案：ABC解析：如图,以A为坐标原点,44，ag，AA所在直线分别为X轴、)，轴、Z轴建立空间直角坐标
11、系，易知,A(0,0,0)，片(l,0,0)，G(，l，)，B(l,0,l),0(0,l,g)p(0,2,0),所以44=(1,0,1)，40=(。,1；)，4户=(一120),。玛二(1,一1,：设平面A1BD的一个法向量为=(X,y,z),nAiB=x+Z=O则彳1,取z=-2,则x=2,y=l,nA1D=y+-z=O所以平面43。的一个法向量为n=(2,1,-2).假设。Q_L平面AB。,且4Q=几4P=九(_1,2,0)=(-几,2Z0),j,(1、则OQ=O4+4Q=1-,-1+22,-2)因为。也是平面AiBD的法向量，所以=(2,1,-2)与OQ=(I-4-1+24-|共线，1所
12、以1一义一1+2221成立，=I=I=21-24但此方程关于4无解,因此不存在点。,使。与平面A3。垂直,所以选项ABC不正确，选项D正确.故选：ABC.11.答案：BC解析：如图,以为坐标原点,以AA,AG的方向分别为X轴J轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),8(2,2,2),PQ,4,2)(02),0(0,0,2),C1(0,2,0),故AG=(-2,2,0),A。=(-2,0,2)，设平面AGQ的法向量Zi=(X,y,Z)，由，小x+2取2A1D=-2x+2z=0则1=(IJl)为平面AGD的法向量，A户=(0,42),所以P到平面4G。的距离d=叫=比与.因为0a
13、0,即BC选项的数值才符合. 3解析:因为E为BC的中点,则直线AE和BC相交于点所以选项B,C正确,选项D不正确.因为E为BC的中点,所以AE=OEOA=；(O8+OC)D4,因为在三棱锥A-BCD中,OAQBQC两两垂直,且DB=DC,所以AE8C=DB+DCyDA一(DC-OB)=J(IQC一|。=0,所以AEJ.BC,故选项A正确.故选:ABC13 .答案：2解析：因为空间向量i(2,l,2),b=(l,2,2),则b-=(1,2,2)-(2,1,2)=(-1,1,0),因此加一代J(T)2+F+02=万故答案为：&.14 .答案：1解析：由题意知：AP=(L-L-I)所以财W18三三
14、詈i故答案为：115 .答案：-a+-b+-c22角军析：由图可得AO=Ao+08+30=04+08+，(0C08)=a+，Z?+，c.2、f22故答案为：-a+-b+-c-2216 .答案：1/0.875.8解析：建立如图所示空间直角坐标系,设A(6t,0,0),C(0,Z?,0),D1(0,0,c)(0,Z?0,c0),所以 EF = (U,0),因为EF分别为AA,BC1的中点,所以唱,0,9,呜力,|）又因为E户=4G户,所以Ge号,所以QlG=又因为D1A=(a,0,-c),DE=(aS,O)，AC=(O,b,c),G=%A+)，S+zC,=xa+ya12=x+y1X=-8所以,型=yb+zb,所以4=y+z,解得,4y-所以x+y+z=N88C13=-XC-ZC=-x-zZ=-2
