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1、第二章复习与思考题1 .什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：假设次多项式j(x)C=O,l,在+1个节点XOVRVVX”上满足条件z、1,k=/,Mz)=o心/=0,，那么称这+1个次多项式(,/”为节点餐,和,居上的次拉格朗日插值基函数.以MX)为例，由(Ia)所满足的条件以及乙卜)为次多项式，可设MX)=A(X-Xo)(XfT)(Xr+1)(r3其中A为常数，利用Mz)二I得=Ag-)(-x-)(-)*U-)k-X-)(-),晨X)=(X-XO)(x-Xx-%)(x7,J=X-Xjk(-)(-X-XZ)(S-居)MXkf对于j(x)(i=0,1,力)，有ZXz(X
2、)=XAk=0,1,，特别当3=0时,有I=O(W=1r=02 .什么是牛顿基函数？它与单项式基l,x,x”有何不同？答：称1,X-o,(%-工0)(彳一玉)-,(工-工0一(工一5-1)为节点“0，彳4一，怎上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点,M，,X”上的次牛顿插值多项式2(x)可以表示为Z(x)=0+1(x-x0)+-+n(x-x0)(x-xrt,1)其中%=/%,芭,xjZ=0,1,.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如pk+W=Pk(%)+4+1(%一X。)一七)，其中见+1是节点,4+1上的A:+1阶差商，这一点要比使用单
3、项式基1,炉方便得多.3 .什么是函数的阶均差？它有何重要性质？答：称4,xJJg)Y)为函数/(X)关于点X0,X.的一阶均差，Aro,2,X=正叱止生为/(x)的二阶均差.-一般地，称XkfHXo，和5=力。，”a2JL,再,怎为了的阶均差.X一XM均差具有如下根本性质：(1)阶均差可以表示为函数值FaO),/GJ,/(/)的线性组合，即/卜,M=Z777,X区一X(J区-XjTx;-Xj+J区-xn)该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.(2) /民不，%=:，4一/。，.%一%(3)假设/(x)在a,。上存在阶导数，且节点与不，,怎。，那么阶均差与阶导数的关系为/F;=
4、/旦三,b.4 .写出+1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？答：给定区间。力上+1个点ax0x1xmb上的函数值升二/(七)。=0,1,)，那么这+1个节点上的拉格朗日插值多项式为JIL(x)=ZM(x),K=On(XX.、其中4(x)=nl-,2=。,，.jk这+1个节点上的牛顿插值多项式为W=(-)+(-)(-),其中ak=/xo,xl,xj,Z=0,1,为F(X)在点/,X,上的上阶均差.由插值多项式的唯一性，与心是相同的多项式，其差异只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比拟方便，而拉格朗日插值没
5、有这个优点.5 .插值多项式确实定相当于求解线性方程组AX=y,其中系数矩阵A与使用的基函数有关.y包含的是要满足的函数值(NO,y,以),.用以下基底作多项式插值时，试描述矩阵A中非零元素的分布.(1)单项式基底；(2)拉格朗日基底；(3)牛顿基底.答：(1)假设使用单项式基底，那么设2(x)=%+x+凡/，其中。o,q,凡为待定系数，利用插值条件，有a0+010+X=y0%+4%+。X=M9,+flX=因此，求解AX=y的系数矩阵A为1 H2 x1.kA=J居为范德蒙德矩阵.(2)假设使用拉格朗日基底，那么设(X)=%0(x)+M(x)+(x),其中MX)为拉格朗日插值基函数，利用插值条件
6、，有zo()+M()+a/”(XO)=%00(x1)+,1(xi)+A(x1)=KWo(Z)+M&)+aA(Z)=yn由拉格朗日插值基函数性质，求解AX=y的系数矩阵A为-1O0Ol-OA=001为单位矩阵.(3)假设使用牛顿基底，那么设2(X)=)+4(%-Xo)+勺(X-Xo)(X-怎_1)，由插值条件,1(-)+(-)(-n-1)=N。00+a1(x1-x0)+an(xl-x0)(x1-XAi)=y.+(-)+%(乙一)(-Vi)=Joa0+01(x,-x0)=y1+6fk-)+%(-)k-)=故求解AX=y的系数矩阵A为1x,j-xok-X0X-l)(-X-X1)(x11-Xzj-1)
7、为下三角矩阵.6 .用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：假设用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，那么工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.7 .给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设在,“上连续,S+(x)在(内存在,节点x0x“?,.(x)是满足条件4(勺)=力，/=0,1-,的插值多项式，那么对任何x4,b,插值余项K(X)=f(-)-Ln(X)=号)%+13，这里J(。且与X有关，t,+1(x)=(x-x0X%-x1)(x-).假设有maxn+0(=Mn+l,那么L(x)逼近/(x)的截
8、断误差8 .埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等.称W=()(X-)+与)(XToT为F(X)在点飞的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为()=(),k=O,l,n,泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点而处给出+1个插值条件得到的几次埃尔米特插值多项式.9 .为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当8时，不一定收敛于7(x)
9、,如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成假设干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以防止单个高次插值的振荡现象.10 .三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数S(X)。2出“，且在每个小区间k,与+J上是三次多项式，插值条件为S(Xz)=力/=0,三次分段埃尔米特插值多项式人是插值区间4”上的分段三次多项式，且满足4(x)c,U,插值条件为Ih()=/&),/；(占)=,伏=0,1,.分段三次埃尔
10、米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.11 .确定+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数S(X)在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间上,七十J上要确定4个待定参数，+1个节点共有个小区间，故应确定4个参数，而根据插值条件，只有4-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间。力的端点=x,h=%上各加一个边界条件，常用的边界条
11、件有3种：(1)两端的一阶导数值，即SQo)=,S=/(2)两端的二阶导数值，即S(%)=,S(%)=/，特殊情况为自然边界条件)=0,Sa)=0.(3)当/是以-%为周期的周期函数时，要求S(X)也是周期函数，这时边界条件就满足S(x+0)=s(xn-0)，SMO+0)=Sxn-0)，Sff(x0+0)=Sxn-0)这时Ser)称为周期样条函数.12 .判断以下命题是否正确？(1)对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.(2)如果给定点集的多项式插值是唯的，那么其多项式表达式也是唯一的.(3) 4(x)(j=0,l,是关于节点七(i=0,l,的拉格朗日插值基函数，那么对任何次数不大于的多
12、项式Pa)都有Sx(X)P(M)=P(X)i=0(4)当/(%)为连续函数，节点七=o,)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式L(x),那么n越大L11(x)越接近f(x).(5)同上题，假设构造三次样条插值函数S“(x),那么越大得到的三次样条函数S“(x)越接近/W-(6)高次拉格朗日插值是很常用的.(7)函数/(x)的牛顿插值多项式L(X),如果/(x)的各阶导数均存在，那么当xiXo(i=,L)时，2(x)就是/(x)在/点的泰勒多项式.答：(1)对.(2)错.+1个节点上的拉格朗日插值和牛顿插值就是表示形式不同的两种插值多项式.(3)对.(4)错.当8时，并一定收敛到f(x).(5)对.(6)错.高次拉格朗日插值不一定具有收敛性，因而并不常用.(7)对.
