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1、线性代数(复习资料)一、填空题1、设A8均为5x5矩阵，且网一亨团一5,则381.。2、向量组%=(1.IJ),=(1.2,3),=(-1,3,6),%=(1,-3,0)线性。3、矩阵(工+B)?=工+2AB+炉的充分必要条件是。4、设工为XM矩阵，、%为齐次线性方程组RX=O两个不同的解向量,则M1.5、设向量组向，自线性无关,且向量组,%,生可由自，向线性表示，则%,%,生线性O6、若二阶矩阵A有一个特征值4=2且国=6,则工另一个特征值为%=。r0AV17、设矩阵j、B均为可逆矩阵,则分块矩阵180；=14282-110D=12348、设行列式121,则41+24+44=。9、设5阶矩阵
2、4=2,则厂(4)=。2121.1.10、已知4阶矩阵幺与8相似，力的特征值为5号彳印则|2一陷=二、单项选择题1、若正阶矩阵4、5都是可逆矩阵，则()可逆。A、ABB、上+3C、工一BD、+5*2、元非齐次线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是()A、导出组力X=O仅有零解B、工为方阵且回=以r(A)=nd、工的中列向量组线性无关且可由工的列向量组线性表示3、设上、B、C均为力阶方阵，则下列结论中不正确的是()A、若ABC=E,则AB、C都可逆b、若8=4C且工可逆，则B=Cc、若/8=4C且力可逆，则班=C/4D、若/8=0且4=0,则B=O4.若向量组,，R的秩为尸，则()A、rsb
3、、向量组中任意尸个向量线性无关C、向量组中任意r+1个向量线性相关D、向量组中极大线性无关组所含的向量个数可以小于广5、若然阶矩阵力与B相似,即4B则()A、/与B相等B、工与5的特征向量相同C、月与B的特征矩阵相似D、工与8的特征矩阵相同三、计算题1-11、计算行列式-100、0U求矩阵5。rI0A=0-22、设矩阵工、5满足才刚=2班一8,其中I00x1+X2+x3+x4+X5=13x1+2X2+x3+x4-3x5=0x2+2x3+2x4+x5=b3、给定线性方程组U/+4+3x3+3x4-X5=2(1)当3为何值时,方程组有解？(2)在有解的情况下,求出它的全部解(用其导出组的基础解系表
4、示)。4、给定向量组%=(1,-1,2,1,0)，%=(2,-2,4,-2,0),%=(3,0,6,Tjy,a4=(0,3,0,0,1./求：向量组，生，%，1的秩并判断，生，色，%的线性相关性；(2)向量组，电，色，1一个极大线性无关组，并将其余向量用所求极大线性无关组线性表示。r12-3、=-14-35、已知矩阵/V1aJ有一个二重特征值，求以的值，并讨论矩阵4是否可以与对角阵相似。6、设有二次型/（和勺，与）=谒+4后+占后+4x-4XIX3+8勺/，经过正交变换化为义+6-6冠，求的值和正交变换矩阵Po四、证明题己知三阶矩阵BMO且B的每一列都是下列方程的解：X1+2x2-2x3=02
5、x1-x2+x3=03X+XjXj0（1）求N的值；（2）证明B1.=0。线性代数（复习资料）答案一、填空题1、1；2、线性相关；3、AB=BA；4、MI=；5、线性相关；6、=3；r0_（0B7、80/U-10）.8、41+24+44=;9、10、二、单项选择题1、A；2、D；3、D；4、C；5、三、计算题口4-1.解:1O-1-1Oa1-b-Ic-I1dO1nnnO-1-11a+ca+d1-1O1-1b-1a+c1+d-1O12、解:3、解:H3O5OO10O-11+B+dOa+cOa+d1=a+d由4胡=2班-必得，()-2功班=-8,M1.=-2,(d-2E)B=-81(42j4A)B
6、=84国网,故/也可逆。B=4(+4)T(E-A)B=4E(2O-4O0、O力对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换1214112311231-36-11-11-11-22-21-22-21-6-61-3-V故A可逆,1-1OO1-2OO1-2OO1-6OO1-3b-30-3=0,即8=3时线性方程组有解。在有解的情况下,继续对增广矩阵进行初等行变换,11OO12OO12OO16OO原方程组的一般解为3O，(OOO1OO-12OO-12OO-56OO；-2、；3；O：，/，不为自由未知量,方程组的特解了。=(-23,0,0,0)、X1=X34-X4+5X5其导出组的一般解为勺=-2彳3_2勺-6
7、也向，勺为自由未知量，导出组的基础解系为=(1,一2,1,0,0)，2=(1-2,0,1,0)r,%=(5,-6,0,0,19原方程组的全部解为了。+占为+融+网介，其中公、今总为任意常数。4、解：以%，%，%，%为列向量组作矩阵，并对其施行初等行变换：r1230、,100-1、-1-203010-1A=2460OO1.1.1-2-1OOOOO%=f-2I 花-H= 14-45、解：T33=(4 - 2)(才一 8N + 18 + 3 以) -5当4=2是A的二重特征值，此时2-82+18+%=0,得=-2.当a=-2时，A的特征值为2,2,62E-A=对于4= 2时，矩阵1-21 -2-1 23f13 O目10-2OO3、O，r(2E-A)=f矩阵A可以与对角阵相似。当4=2不是A的二重特征值时，(一N+18+%)为完全平方。二解得,一一5,此时A的特征值为2,4,4。r3-23、4一上二1O3当N=4时，矩阵1.-12/3-U的秩为2,，不可以对解化。6、解:四、证明题解：（1）因为B0,此方程组有非零解，即M1.=,得4=1。42-2、A=2-10由于48=。，I311/,如果忸性。，则B可逆，ABB-I=O得4=0,与题设矛盾，所以冏二
