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1、微专题7导数与函数的单调性、极值、最值高考定位利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题.【真题体验】1.(2023新高考11卷)已知函数外)=浸一InX在区间(L2)上单调递增，则。的最小值为()A.e2B.eC.e-1D.e-2答案C解析因为函数外)=qex-Inx,所以)=er-1.因为函数/)=4e-Inx在(1,2)上单调递增，所以/(x)20在(1,2)上恒成立,即讹一320在(1,2)上恒成立，易知0,则0Wxev在(1,2)上恒成立.设g(x)=xex9则g0,g(x)单调递增，所以在(L2),
2、g(x)g(l)=e,所以we,即2:=e,故选C.ClCbc2.(多选)(2023新高考H卷)若函数Jx)=an彳+:+在。Wo)既有极大值也有极小人v值，贝|()A,.bcOB.abOC.+84c0D.ac0f产。，bn贝川加+也0,即J/Ulxx2O,-2c庐+80c0,IabOt所以C故选BCD.ac09bc%=(x+1)COSx,x0,2.令Fa)=0,解得工=一1(舍去)，jr3X=或x2因为y=cos+(j+l)sin5+1=2+；,()=cos多+怎+1)Sin争+1=-当，又JO)=CoS0+(0+l)sin0+1=2,/(2)=cos2(2l)sin21=2,TrTL所以
3、/U)max =/(1) = 2+,U)min=g)=一当.故选 D.314.(2022全国甲卷)已知=豆,1-41-4/!X.cbaB.bacC.abcD.acb答案A解析 因为 6=COS 1=12sin2,所以ba=-令y(x)=xsinx,则/(x)= 1 cosx20,所以函数7U)在R上单调递增,所以当心0时，yu)M)=o,即有xsinx(xO)成立，所以*sin上，得2sin2,所以比.1 - 4 n 4ta =4 1-4-1所以令g(x)=tan-X,cos2xsin2x1cos2x则g(kBT=Fr2，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当心0时，g(x)g(O)=O,
4、即有tanxX(X0)成立，所以tan；不即4tan11,所以又比0,所以Ob.综上cb故选A.5.(多选)(2022新高考I卷)已知函数yU)=x3-+l,则()AU)有两个极值点Br)有三个零点C.点(O,1)是曲线y=(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线=U)的切线答案AC解析因为yu)=x3-x+,所以F(X)=3/一i.令F(X)=3一1=0,得X=坐.由/(x)=3x2-10得G坐或x一坐;由F(X)=3f10得一曰x坐所以yU)=%3x+在(坐，+8),18,一坐)上单调递增，在(一坐,坐)上单调递减，所以yu)有两个极值点，故A正确；因为T(X)的极小值周=惇一尊+1=1-苧
5、0,12)=(2户(2)+1=50,所以函数段)在R上有且只有一个零点，故B错误；因为函数g(x)=x3-的图象向上平移一个单位长度得函数兀v)=Rx+1的图象，函数g(x)=x3-的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点(0,D是曲线yu)=-+的对称中心，故C正确；假设直线y=2x是曲线y=y(x)的切线，切点为(X0,o),则f(XO)=3xo1=2,解得XO=1；若Xo=1,则切点坐标为(1,1),但点(1,1)不在直线y=2x上；若刈=1,则切点坐标为(-1,1),但点(一1,1)不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.【热点突破】热点一利用导数研究函数
6、的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.考向1求函数的单调区间2例1已知/U)=(-Inx)+-7一,R.讨论/(x)的单调性.2 l 2(or22) (-1)f(x)=a解40的定义域为(0,+8),.v,若W0,当x(0,1)时，/(x)0,7U)单调递增,当x(l,+8)时，/()v,兀V)单调递减;a (-若 a0, f(x)=产x+当 x(O, 1)U当 x 1,时，/()o, yu)单调递减.当。=2时,当0o, yu)
7、在(0, 1=1,在X(0, +8)内,+8上单调递增,/()o,yu)单调递增.当。2时，O0,/)在 0,1时，o, 7U)单调递减.，+8)上单调递增,综上所述，当W0时，段)在(O,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减;当02时,内单调递增,1内单调递减，在(1, +)内单调递增.考向2单调性的应用例2(1)(2023西南大学附中质检)若函数应)=(-2CoSX)SinX+X在R上单调递增，则。的取值范围是（）八111lA.0,2B.22C.（-8,一；）D.O（2023河北名校联考）已知/（x）为7U）的导函数,满足tan上了（戏次幻,若Q=Z尼），）=例e），C=/住），则下列
8、大小关系正确的是（）A.abcB,acbC.bacD.cb(x),即tanx(x)/U)0,即黑点八功A)，gP-sinxf(x)-cosx(x)0,所以sin2x p(X)cos x sin X0,分析可得,当（,时，cosx0,y0,当Xg,，时，COSX0,fsi；）0（或/（x）0）在x。上有解.训练1（1）（2023晋中二模）已知=lnLb=竽c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacD.cabC.abo),则)=v当x(0,e),/(x)0,TU)单调递增；当x(e,+8)时，/()0,共功单调递减.6F=ln啦=；ln2=帛n2=1ln4=犬4),。1又b=J(3),c=(
9、e),e34,且r)在(e,+8)上单调递减，所以14)勺(3)勺(e),所以40,Sin(X+0,则la)V0；当w(亨,)时，ex0,SinLr+j0.危)在(0,Tr)上的单调递增区间为传，兀).(3) ,.x)=(-l)er-AZtr,(x)=xev-/H,;Z(X)在区间1,2上存在单调递增区间，(x)0在口，2上有解，即加e能成立，令g(x)=xex,x三l,2,则go恒成立，ga)=XeX在口,2上单调递增,*g(x)max=g(2)2e2,：n0且0l时,40存在一个极小值点xo,且xo3,求实数。的取值范围.解)=2Q足4+l)x+(2I)InX+2,、. l la 1f(x)=a-(2a2 a+) +-加一(2/4H) + (2a1)X(or1)x(2-1)=x，由/(x)=0,解得X=5或=2-l,若0弓则2-l0,2,故当(o,3时，
