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1、解三角形的实际应用（刘园上海市嘉定区安亭高级中学201805）样刊请寄：上海市嘉定区安亭高级中学柏荣201805摘要：解三角形的实际应用问题尤为广泛，既可以解决平面几何问题，也可以应用于实际的测量，作为数学在日常生活中运用的典型，是当前越来越重视对数学实际应用能力的考察的考查的高考热点。本文以解三角形的实际应用教学为例,研究通过正弦定理和余弦定理如何解决实际应用中的距离，高度和角度问题，揭示数学学习生活化的意义。关键词：正弦定理、余弦定理、解三角形1引言解三角形实际问题是高中数学教学的重点和难点之一，同时也是近几年高考热点之一。我们都知道数学与我们实际生活息息相关，它来源于我们的生活，并应用于
2、日常生活当中，比如：我们如何测量两座城市之间的距离？如何测量一些建筑物的高度？又如何确定轮船的航向等等，这些实际问题的解决都可以转化到数学中解三角形的问题。这类问题基本涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及三角函数等知识，还蕴含着转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法,同时解三角形实际问题还可以培养学生数学运算、数据抽象和数学建模的数学核心素养。解三角形问题实际就是解决三角形中边与角的关系，而正弦定理和余弦定理作为三角形边与角的桥梁，正好为边角转化做好了铺垫，直接应用正弦定理和余弦定理，可以求解三角形，灵活变形并与其他知识相结合，可以解决实际生活中的一些问题。正弦定理：在三角形中，各边和
3、它所对角的正弦值的比相等且都等于三角形外接圆的直径。其公式为：=2/?sinAsinBsinC余弦定理：任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与其夹角的余弦值乘积的两倍。其公式为：cr=h2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-IaccosB,c2=a2+b2-2abcosC两个定理在解三角形中的选择:已知条件应用定理两角及一边正弦定理两边及其夹角余弦定理三边余弦定理两边和其中一边对角正弦定理或余弦定理2实例关于解三角形的实际应用问题，将会通过下面这道自行设计的实际应用题来帮助学生展开分析和理解。题目：如下图，点A、B.C、。位于同一水平面，假设你位于黄浦江边某定点A处，现手中只有皮尺
4、和测角仪，在不可以过江的前提下，你能否设计出适当的测量方案解决下列实际问题，测量数据可以用字母代替：（1）计算出你到东方明珠塔底端的距离A&（2）计算出东方明珠塔的高度8E；（3）计算出黄浦江对岸东方明珠塔底端与上海中心大厦底端的距离BD.分析：根据题目中图形的理解，题目第问所需要求解的问题实际就是AB的距离，第二问所需要求解的问题实际就是BE的距离，第三问所需要求解的问题实际就是BD的距离，根据题目的要求和实际问题的背景，要求出AB、BE、BD的距离，就要用到解三角形等相关知识，通过学生的建模，构造出实际问题的数学模型即可解决这几个问题。（1）第一个问题，同学们给出的建模方法，具体如下：学生
5、：在黄浦江西岸边取一点C,用皮尺测出AC距离为X米，然后利用测角仪在A点测出ZBAC=,在C点测出NAC8二夕，那么在aABC中，可以算出NABC=万一尸,再在利用正弦定理即可求出AB的距离:ABACsin sin(-/7)sin(+夕)sin夕.(2)第二个问题，同学们给出了几个不同的建模方法，具体如下:学生1：模型建立在第一问的基础上，只要在A点测出仰角NB4E=7,然后在直角ABE中利用三角比求解：tan/=,即8E=A8tany=SmJtanyABsin(+/)学生2：在直线BA的延长线上取一点F,用皮尺测出AF的距离为X米，在A点测出仰角NBAE=y,在F点测出仰角NBFE=6,如下
6、图所示：BAF则NAE/=/1一。，在三角形AEF中。利用正弦定理求出AE或者EF的距离，pAfY-=-,即=Sin6,(EF=-Siny),再在R1.AABEsin。sin。一。)sin(-6?)sin。-。)中利用三角比求出BE的距离：sin/=,即BE=XTmOsmAEsin(-6)(3)第三个问题，同学们给出的建模方法，具体如下：学生1：在黄浦江西岸边取一点C,用皮尺测出AC距离为X米，然后利用测角仪在A点测出ZBAC=af在C点测出ZACB=,那么在aABC中，可以算出ABC=-a-,Afi再利用正弦定理即可求出AB的距离：-=-,即AB=1.sin/?；sinsin(-a-)sin
7、(+)然后在A点测出NCAO=y,C点测出NAeD=那么在aACD中，可以算出nA4ADC=-y-,再利用正弦定理即可求出AD的距离：-=-,即Sinesin(;T-V-O)YAO=丁Sine,最后在ABD中利用余弦定理：sin(y+0)BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosBADmm2x2sin2x2sin2CxsinXSinez、即BDZ=_J+2cos(-/).sin(+/)sin(y+6)sin(a+)sin(y+6)学生2：在黄浦江西岸边取一点C,用皮尺测出AC距离为X米，然后利用测角仪在A点测出ZBAC=af在C点测出N4CB=尸，那么在AABC中，可以算出NABC二万一。一万
8、，再在AABC中利用正弦定理即可求出BC的距离：-J=1.,即Sinasin(-a-)YBC=sincr；然后在A点测出ZC4D=/,C点测出ZACD=6,那么在aACDsin(a+)中，可以算出NAOC=-e,再利用正弦定理即可求出CD的距离：-=-,即c。=sin/,最后在aBCD中利用余弦定理：sin/in(-)Sin(V+6)BD1.=BC1+CD2-2BCCD-cosZBCD2222即5b二sm+smy_?Wnasin(+)sin(y+6)sin(+)sin(+6)通过这道实际探究题的建模分析可知，解三角形在实际生活中的应用非常广泛，诸如在实际问题中求距离、高度等都可以运用解三角形的
9、有关知识去解决。在解决实际问题的过程中，我们要学会把实际问题转化为数学问题，根据实际问题建立出适当的数学模型，然后通过数学知识进行推理演算，得出数学模型的解，再还原到实际问题当中，最终实际问题就可以得到解决。3结束语数学生活化，生活数学化。数学知识来源于日常生活，也服务于日常生活，有效地将理论和实践紧密结合，这样才能体现出数学的价值所在。在实际的教学当中，要让学生学会用数学的眼光看待实际问题，并学会用数学的理论知识解决日常生活中的问题，这可能就是我们学习数学的真正意义吧！参考文献1尹建堂，简议解斜三角形的实际应用.数学通讯，2006.12牛永亮.解斜三角形应用举例J课题与研究：教学论坛，2011(2):75-75
