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1、第六章定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分.本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用.此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体.最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分.6.1 定积分的概念与性质1 .定积分的定义我们先来研究两个实际问题.例1计算曲边梯形的面积设y=()为闭区间眸向上的连续函数，且/()0.由曲线y=(x),直线X=,X=匕及R轴所围成的平面图形(图61)称为在S,例上的曲边梯形,试求这曲边梯形的面积.图61我们先来分析计算会遇到的困难.由于曲边梯
2、形的高/*)是随X而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积.但我们可以用平行于y轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示.在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值.容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法.下面我们分三步进行具体讨论：(1)分割在中任意插入-1个分点a=xqx1X2xn.xn=b把向分成个子区间IXo,x,x1,x2,xm.i,xm,每个子区间的长度为Xi=再一Xi-I(i=l,2,)(
3、2)近似求和在每个子区间札,即(i=1,2,)上任取一点媒，作和式/)3Z=I2 1.1)(3)取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A).因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有(l)xf.A.Z=I例2求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度U是时间，的连续函数u=u).试求该物体从时刻，=。到时刻f=人一段时间内所经过的路程S.因为V=U是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程.但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题.(1)用分点a=t0tlt2-tn,itn=b把时间区
4、间3切任意分成个子区间(图62)：瓦JJ也由每个子区间的长度为M=4-%(=l,2,n).。=，Oft2tn-tn=h图62(2)在每个子区间HiJj(i=12)上任取一点叫,作和式Jlv()z,1=1(3)当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有v(rr.)fs.Z=I以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(LI)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促
5、使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念.定义6.1.1设函数/(x)在口,切上有定义，在伍力)内任取1个分点a=x01X2xn=b把向分成个子区间IXo,x,x1,x2,xm.i,xm,每个子区间的长度为xr.=xr.-xt._(i=l,2,在每个子区间IX=1,2,上任取一点Jj(称为会点)，作和式SGj)Xj,并记4=膜xxj如果不论对向怎样划分成子区间，也=11M不论在子区间次一”上怎样取介点乙，只要当4fo时，和式(1.1)总趋于确定的值/,则称这极限值/为函数X)在区间修力1上的定积分,记作f(x)公，即f(x)dx=I=ym(1.2)i=其中幻称为被积函数
6、,X称为积分变量,必,外称为积分区间,4匕分别称为积分的下限和上限.关于定积分的定义，再强调说明几点：(1)区间。,可划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定.因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小.所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度；l0,这时必然有-8.(2)定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限.尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当40时却都以唯一确定的值为极限.只有这时，我们才说定积分存在.(3)从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数人幻在,例上有界.因为如果
7、不然，当把口,依任意划分成个子区间后，/(X)至少在其中某一个子区间上无界.于是适当选取介点媒，能使/(4)的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值.(4)由定义可知，当在区间川上的定积分存在时，它的值只与被积函数/(幻以及积分区间加有关，而与积分变量X无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有f(x)dx=f(t)dt=.(5)我们仅对“V8的情形定义了积分f(x)公，为了今后使用方便，对a=b与。的情况作如下补充规定：当=人时，规定fxdx=0；当。b时，规定，/(x)公=一，f(x)dx.根据定积分的定义，我们说：例1中/(幻在。,切
8、上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标/(幻从4到6的定积分A=Jf(x)dx.它就是定积分的几何意义.注意到若/(x)0,则由/(4)0及AG0可知r(x)dxO.这时曲边梯形位于X轴的下方,我们就认为它的面积是负的.因此当/(X)Ja图63例2中物体从时刻。到时刻人所经过的路程就是速度W/)在时间区间3切上的定积分s=fv()dt.Ja对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义.当/(幻在区间M上的定积分存在时，就称幻在刖,加上可积,说明(3)表明：/(幻在口,加上可积的必要条件是/(X)在4,加上有界.下面是函数可积的两个充分条件，证明从略.定理6.1.1(1)若/(X)在。向上连续
9、，则/(X)在。向上可积.(2)若/(X)在3切上有界，且只有有限个间断点，则/(x)在。,切上可积.3 .定积分的基本性质定理6.1.2(积分的线性性质)(1)若Fa)在3句上可积,我为常数，则A(x)在口向上可积，且kf(x)dx=kbf(x)dx(1.3)JaJa(2)若/(x),g*)在4,句上可积，则/(x)g(x)在冬加上也可积，且p(x)g(xy)dx=bf(x)dxbgxdx.(1.4)JaJaJa证根据定义，有a工工chkf(x)dx=HmZkf(i)Axi=kIimZ/()x,.=kf(x)dx.i=z=l所以(1.3)式成立.类似可证(1.4)式成立.定理6.1.2的更一
10、般的结论是fW4zx=J。)心j=7三其中人(幻(，=1,2-)在3向上可积，帚(,=1,2,)为常数.定理6.L3(积分对区间的可加性)设/(x)是可积函数，则f(x)dx=fxdx+fxdx(1.5)对,力，c任何顺序都成立.证先考虑0(i=12,)，所以上式右边的极限值为非负，从而有rbfbIg(x)dxfxdx.JaJa(1.(6) 立.从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1若/(x)在3切上可积，且/(x)0,贝Ujf(xrO.推论6.1.2(积分估值)若/(幻在,加上可积，且存在常数相和“，使对一切Xa9b有加/(x)M,则m(b-a)ff(x)dxM(b-a).Ja推论6.1.3
11、若/(x)在口向上可积，则(幻|在口向上也可积，且Jf(x)dxf(x)dx.这里I/(X)I在b上的可积性可由/(x)的可积性推出，其证明省略.推论6.1.4(严格不等式)设八幻是眸,切上的连续函数，若在3句上/(x)0且/W三0,则ff(x)dx0.Ja证由假设知，存在/(向使/(%)(),根据的连续性，必存在与的邻域(Xo-3,%o+5)u,勿，使在其中/(x),从而有fxdx=Pfxdx+(x)d+C,f(x)dxJaJaJxQ-bJ+f(x)dx2J=(xo)O,h-62所以结论成立.定理6.1.5(积分中值定理)若F(X)在,例上连续，则在,切上至少存在一点4,使得Ibf(x)dx
12、=f()(b-a).(1.7)7证因为/(X)在3切上连续，所以/(X)在。,句上可积，且有最小值2和最大值M.于是在0,b上,fbm(b-6f)f(x)dxM(b-a)fCfxdxm包M.b-a根据连续函数的介值定理可知，在句上至少存在一点,使bf(x)dx所以(1.7)式成立.积分中值定理的几何意义如图6-4所示.yOabX图64若/*)在睥力上连续且非负，则Ax)在句上的曲边梯形面积等于与该曲边梯fbfbIf(x)dxIf(x)dx形同底，以=为高的矩形面积.通常把/(,即工称为函数/()b-ab-a在冬例上的积分均值,而这正是算术平均值概念的推广.定理6.1.6(推广的积分中值定理)若
13、/(x),g*)在向上连续,且g(处在口向上不变号，则在例上至少存在一点J,使得f(x)g(x)djc=f()g(x)dx(1.8)证不妨设在切上有g(x)O,则fg(x)公0,且在勿上mg(x)*)g(x)Mg(x)，其中m,M分别为/(x)在凡句上的最小值与最大值.由此推出mhg(x)dxCf(x)g(x)dxM.JaJaJa若fg(x)dx=O,则由上式知f(x)g(x)dx=O.Ja从而在出,切上任取一点作为J,(1.8)式都成立.若jg(x)dxO,则得phf(x)g(x)dxmM.fg(x)dx按连续函数的介值定理推出，在用上至少存在一点S,使fxgxdx=G)Jg(x)dx所以(1.8)式也成立.6.2微积分学的基本定理与基本公式若已知/“)在口句上的定积分存在，怎样
