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1、第05讲解三角形拓展与应用【人教A版2019】模块导航 模块一解三角形综合问题 模块二测量问题 模块三课后作业模块一卜解三角形综合问题基础知识1 .解三角形中的重要模型中线模型(1)中线长定理：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线，则AB+AC2=2(BD2+AD2).(2)向量法：AD2=1(Z2c2+2bccosA).2 .解三角形中的重要模型一一倍角模型B=2Ab1=aCa+C)C=2Bc2=Kb+a),这样的三角形称为“倍角三角形A=2Ca2=c(c+b)西、入abc.ac推论1：A=2B=b=sin28SinBsin382cos3-4sinB推论2：
2、A=2-=1+2cosAZ?+c=2cosB.b3 .解三角形中的重要模型一角平分线模型角平分线张角定理：如图，初为C平分线，则c-斗与+学4 .三角形中的最值（范围）问题的解题策略：（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）.（2）“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识
3、求其最值.考点剖析【考点11【例1.1（22-23高一下黑龙江绥化阶段练习）设AABC的内角4、8、C所对的边分别为Q、b、c,若QCoSA=bcosB=ccosC,则48C的形状是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三边比为1：2：3的三角形【例1.2（22-23高一下甘肃天水阶段练习）在中，若SiMAsiMB+siMc,则4ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【变式1.1（22-23高一下辽宁鞍山阶段练习）在4BC中，若cos4=bcosB,则BC为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【变式1.2（22-2
4、3高一下.四川成都.期末）在4BC中,若siM4=sin?C-Sin2氏AB=2（BC-ACcosC）f则4BC的形状为（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.有一个内角为60。的直角三角形【考点2三角形中的边、角计算】【例2.1（22-23高一下山西朔州阶段练习）在48C中，3sin-=3sin（-A）,且COSi4=-3cos（-F）,则C等于（）A.-B.-C.-D.-6323【例2.2（23-24高二上云南大理期末）如图，已知在Oo的内接四边形ABC。中，AB=2,BC=7tAD=CD=4,则AC=()O【变式2.1（23-24高三上.重庆沙坪坝.阶段练习）冬奥会会徽以汉
5、字“冬”（如图I甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30。，45,60。，90。，120。，150。等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了AABO（如图乙），测得4B=3,80=4MC=AO=2,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算SinNA的值（）【变式2.2X22-23高二上重庆沙坪坝期末）如图，教室里悬挂着日光灯管AB,AB=120cm,灯线AC=BD,将灯管48绕着过AB中点。的铅垂线。顺
6、时针旋转60。至AB,且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了20cm,则AC的长为（）A. 70cmB. 80CmC. 90cmD. IOOcm【考点3证明三角形中的恒等式或不等式】【例3.1（2023全国模拟预测）在AABC中，ABC,且tanA,tan8,tanC均为整数.（1）求4的大小；（2）设AC的中点为0,求证：BC=BD.【例3.2（22-23高三上重庆渝中阶段练习）已知在锐角C中，IanAsin8l+cosF(1)证明：B=24求黑的取值范凰【变式3.1（23-24高三上江苏开学考试）如图，在AABC内任取一点尸，直线AABRC尸分别与边8C、CA.48相交于点。、E、F.（
7、D试证明:黄_ ABsinZ.BADACsxnZ.DAC(2)若P为重心，AD=StBE=4,CF=3,求AABC的面积.【变式3.2（23-24高三上广东阶段练习）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为,b,c,。是边BC上一点，/.BAD=,Z.CAD=,AD=d,且2acsin+2bsin=3bc.（1）若4=?,证明：=3d；6在（1）的条件下，且CO=280,求COS乙4。C的值.【考点4【例4.1（2023广西柳州模拟预测）在48C中，角4、8、C所对的边分别为Q、b、c,已知8=60。，b=4,则48C面积的最大值为（）A.33B.43C.53D.6【例4.2（2223高一下山
8、东青岛期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中提出了一种求三角形面积的方法三斜求积术：”以小斜幕，并大斜界，减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜鼎，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积也就是说，在48C中，Q,Ac分别为内角4,B,C的对边，那么AABC的面积S=日2一（吐竽竺,若6=2遮，且tanC二吗,则AABC面积S的最大值为（）A.32B.33C.6D.36【变式4.1（22-23高二下河南开封期末）在AABC中，a,b,。分别为内角A,B,C的对边，1+SinBCoSe-C）=Sin2力+，（cos2B+cos2C）.若b+c=8代,则48C面积的最大值为（
9、）A.苧B.123C.16D.163【变式4.2（23-24高一下安徽滁州期末）在AABC中,小b,C分别为内角A,B,C所对的边,b=c,且满足当=12哼，若点。是AABC外一点，NAo8二a00,-的部分图象如图所示.(1)求函数Fa)的解析式;(2)在锐角4ABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,c,若f(4)=J,b=2,且448C的面积为苧,求.【变式7.2(23-24高二下浙江温州期末)已知函数/(x)=2sinxcosx+3cos2x.(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(II)在锐角AABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若F（八）=O且=3,求b+c
10、的取值范围.(1)测量距离问题的基本类型和解决方窠当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型:类型简图计算方法A,B间不可达也不可视VxC测得AC=Ac=a,C的大小，则由余弦定理得力8=，/+人22abcosC氏C与点A可视但不可达-.1BaC测得BC=,B,C的大小，则A=-(8+C),由正弦定理得sinCAB=Sin(B-C)CQ与点A,B均可视不可达B，、1I：弋XCaD测得CD=a及BDC,NACD,NBCD,NADC的度数.在AACO中，用正弦定理求AC；在ABCD中,用正弦定理求8C；在AABC中，用余弦定理求A8.测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型:类型简图计算方法底部可达底部不可达点、B与CQ共线
