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1、第30讲平面向量的数量积(讲)思维导图题型1：平面向量的数量积的运算考向1：平面向量的模平面向量的数量积题型2:平面向量数量积的应用(考向2:平面向量的夹角I考向3:平面向量的垂直题型3:平面向量与三角函数的综合问题常见误区搞错向量的夹角求数量积致误不会用夹角公式计算向量的夹角致误知识梳理1 .向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量。和作温=,b=b,则NAoB就是向量。与b的夹角.(2)范围：设。是向量。与b的夹角，则0。3k180。.(3)共线与垂直：若。=0。，则。与b同向；若9=180。，则。与b反向；若。=90。，则与力垂直.2 .平面向量的数量积定义设两个非零向量,b的夹角为仇则W
2、CoSJ?叫做。与力的数量积，记作。协投影IaICoS叫做向量。在b方向上的投影，IblCOSJ7叫做向量b在。方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度与b在。的方向上的投影版ICoS的乘积3 .向量数量积的运算律()ab=ba.(2)(d)b=(aby)=a-(b).(3)3+8)c=c+bc.4 .平面向量数量积的有关结论已知非零向量G=(XI，6)，)=(X2,也)，。与b的夹角为夕结论几何表示坐标表示模a=yaaIaI=山i+M夹角abcos6,-x-r2y,2ts6+网总+比a，b的充要条件。山=0XlX2+)V2=0题型归纳题型I平面向量数量积的运算【例11】(2020春南岗区校
3、级期末)已知向量。满足IaI=1,a.b=-,则g(25)=()A.0B.2C.3D.4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解.【解答】解：a.(2a-b)=2a2-a.b=2i-(-)=3.故选：C【例1-2(2020春临渭区期末)在ABC中，。为线段8C的中点，4)=1,BC=3,则A8.AC=()A.-B.-C.3D.434【分析】以DB,为基底，分别表示48,ACr即可求解.【解答】解：O为线段BC的中点，.AB=OB-ZM,AC=DC-DA=-DB-DA=-(DB+DA)t22Q又At)=1,8C=3,则QA=1,DB=-.4一，-2Q5.A&AC=-(DB-DA)(DB+DA
4、)=TDB-DA)=-(1)=.44故选：B.【跟踪训练1-1】(2020春泉州期末)平行四边形ABCC)中，AB=4,AD=2五,ZBAD=-,E是线4段CO的中点，则ABAe=()A. 0B. 2C. 4D. 42【分析】根据条件即可得出AE=Ao+AB，AC=AD+AB，从而得出AEAC=(AD+-AB).(AD+AB).22然后进行数量税的运算即叽【解答】解：如图，根据题意：AE=AD+-AB,AC=AD+AB,且AB=4,AD=2近,ZBAD=-,24AE.AC=(D+-AB).(AD+AB)=AI)+-2+-.D=8+-l6+-422(-)=4.222222故选：C.【跟踪训练1-
5、2】（2020春道里区校级期末）已知4,b满足=g=2,q,5的夹角为120。，则ab=.【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可.【解答】解：a,5满足Iai=l=2,a,力的夹角为120,ab=IaIwcos120o=22=-2-故答案为：-2.【名师指导】求非零向量明力的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量
6、积题型2平面向量数量积的应用【例2-1】(2020春北海期末)己知向量值，的夹角为60o,ab=-,b=3t则|。|=()2A.IB.C.3D.23【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得.【解答】解：.向量,6的夹角为60。，b=3,33ab=4b4acos60o=-a=-.22则IaI=1,故选：A.【例2-2】(2020春广东期末)已知平面向量=(3,0),O=(J,6),则与b的夹角为()A.B.三C.三D.工12643【分析】根据条件可求出aS=3应，Ial=3,%=2j,然后即可求出cos的值，从而得出4与b的夹角.【解答】解:.。山=3,=3,b=2,.COS=3=
7、L且滕Ik、ab3222.Il.=.3故选：。.【例2-3(2020太原二模)已知4力是两个非零向量，其夹角为。，若(a+)_L(4-力)，且+b=2-则8S0=()AlR31d32522【分析】由题意利用两个向状垂直的性质，两个向Q的夹角公式，求得COSe的小【解答】解：出是两个非零向量，其夹角为。，若(a+b)_L(a-b),贝J(+)(-)=/-b2=0,二Wa+b=2a-bf:.a2+2a,b+b2=4(a2-2ab+b2),.,.6a2=0ab.32故选：B.【跟踪训练2-1】（2020春黔南州期末）已知向量,。满足IaI=3b,ab=6,=,则IaI=（3）A.2B.3C.4D.6
8、【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解.【解答】解：因为aZ=|aM/，|cosa-aos-=6所以Ial=6.33故选：D.【跟踪训练2-2】（2020春赤峰期末）己知q,0是单位向量，若|3q-4e2=57,则q与e2的夹角为（）A.30pB.60oC.90oD.120【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出G与C2的夹角的余弦值，可得它的白与色的夹角.【解答】解：.,已知q,e?是单位向量，若3,-4=历，设q与e2的夹角为。，.,.9e124e1e2+16e,=37即9一24COSe+16=37,求得COSe=-！，.6=120,2故选：O【跟踪训练2-3】（2020春新余期末
9、）已知向量、。满足IaI=I,|切=2,向量。，6的夹角为三，则|2a-3的值为（）A.4B.3C.2D.y3【分析】根据条件可求出Gb=1,从而根据12ab=a?4山+/即可求出答案.【解答】解：=1,且Ial=LSl=2,.2a-b=4a2-4ab+b2=4-4+4=2.故选：C【跟踪训练2(2020春广州期末)已知。=(2,T),=(1),若(2a-6)l4,则|。I=.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出I的值，可得Ibl的值.【解答】解：已知a=(2,-l),力=(Lf),若(25)_La,贝J(2-b)a=22-ah=25-(2z)=0,/./=-8*则I/
10、I=Jl+/=底，故答案为：65.【跟踪训练2-5(2020春金安区校级期末)已知向量。=(3,-2),=(l,m),且(q+b)_La,则m=()A.-8B.-6C.6D.8【分析】利用平面向量坐标运算法则求出+b,再由3+b)J,利用向量垂直的性质能求出机的值.【解答】解：.向量。=(3,-2),b=(l,m),:.a+b=(4y-2+m),1 (d+b)Ld,;.(d+b)a=12-2(-2+m)=0,解得m=8.故选：O.【跟踪训I练2-6】(2020临汾模拟)已知向量b=g,等)，向量。在向量b方向上的投影为-2.若(a+b)lb,则实数几的值为()A.-B.C.-D.4422【分析
11、】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数4的值.【解答】解：.向量人=(；,亭)，向量d在向量。方向上的投影为-2,ab=-2b=-2,(a+b)Lb,则(a+b)b=ab+b2=-2+1=O,1=2故选：C【跟踪训练27】(2020春咸阳期末)已知向量OA=(IJ),0B=(3,m),若OA_LA8,则实数?的值为()A.-1B.1C.-2D.2【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出A5,再由QA_LA8,能求出实数小的值.【解答】解：.向量04=(1/)，08=(3,，)，.AB=(2,m-l),OAlAB，.OA.AB=2+m-1=0,解得实数优=T.故选：A.【
12、跟踪训练2-8】(2020春密云区期末)己知向量4与6的夹角为60o,4=1,仍|=2,当(24-烟时,实数/1为()A.1B.2C.-D.-22【分析】根据两向量垂直时数量积为0,列方程求出义的值.【解答】解：向量d与力的夹角为60。，4=1,b=2,由bJ2-4b)知，b(2劝)=0,处必一加=。，221cos60-22=O,解得2=L2故选：C【跟踪训练2-9】(2020春垫江县校级期末)已知IIdl=2,IbI=Rbr(d-b)t贝Jd+5=【分析】推导彷=从=2,a+b=y(a+b)2=yd2+b2+2ab，由此能求出结果.【解答】解：a=2,h=Jl,且6_L(a6),.b(a-b
13、)=ab-b2=O,.,.ab=b2=2.d+b=y(d+b)2=Ja2+b2+2db=42+22=23-故答案为：24.【跟踪训练2-10】(2020徐州模拟)已知A8=(2,3),AC=(-l,w),若AB上BC,则实数m的值为.【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值.【解答】解：.己知A=(2,3),AC=(-l9m)t/.BC=AC-AB=(-3,m-3).若AB工BC,:.AB.BC=Q,3).(-3,zn-3)=-63(n-3)=0,则实数m=5,故答案为：5.【跟踪训练2-11】(2020江苏模拟)在ABC中，(A8-4AC)LBC(ll),若角A的最大值为巴，则实数6a的值是.【分析】由(A8-;IAC)IBC得出(AB-；IAC).(AC-48)=0,设A8C三角所对的边分别为、b、c,求出CosA,再利用角A的最大值得出方程求出4的值.【解答】解：ABC中，(48-2AC)L8C(ll),所以(48-aAC)BC=0,即(AB-AC)(AC-AB)=0f所以(1+)ABAC-AB2-AAC2=0,设ABC.三角所对的边分别为、b、c,则(1-)cZ
