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1、专题跟踪检测一、题点考法全面练（八）空间几何体的表面积与体积1.如图，在三棱台ABC-ABC中，沿平面4BC截去三棱锥A-ABC,则剩余的部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体解析：选B在三棱台ABC-A8C中，沿平面ABC截去三棱锥A-ABCt剩余的部分是以A为顶点，四边形3CCB1为底面的四棱锥A-BCC8.故选B.2. （2023淄博一模）如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2,若该几何体的表面积为20兀，则其体积为（）（7D44A.yB.15C37ID3一7i解析：选A由题意，设该几何体中间部分圆柱的高为儿圆柱的半径为则
2、该几何体的表面积为422=20.因为，=2,所以人=1.所以该几何体的体积V=r3+rh=,故选A.3.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是0.18m3,那么原正方体石料的体积是（）A.0.196m3B.0.216m3C.0.225m5D.0.234m3解析：选B如图，设正方体的棱长为,则正方体的体积为加，每一个正四面体的体积为士匆览=泰.由题意可得苏8金=0.18=0.216.4.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm,高为10cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为rem且和原工件有相同轴的圆
3、柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()A.K)B.15C.4D.5解析：选D因为大圆柱表面积为2X152+10X215=750,小圆柱侧面积为102r,上、下底面积为2r2,所以加工后工件的表面积为750兀+2Or-2户，当r=5时表面积最大.故选D.5. （2023济南一模）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1,下底面半径为2,且该圆台侧面积为3小小则原圆锥的母线长为（）A.2B.5C. 4D.25解析：选D设圆台的母线长为/,因为该圆台侧面积为35,则由圆台侧面积公式可1,得（l+2）=3=35,所以=1设截去的圆锥的母线长为,由三角形相似可得
4、厂q则2=5,解得r=5.所以原圆锥的母线长为=5+5=25,故选D.6.己知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10,侧面积为300,48为圆台的一条母线（点8在圆台的上底面圆周上），M为A8的中点，一只蚂蚁从点8出发，绕圆台侧面一周爬行到点也，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（）A.30B.40C.50D.60解析：选CY圆台上底面半径为5,下底面半径为10,母线长为/,0S=Z（105）=15=300,解得/=20.将圆台所在的圆锥展开如图所示，aa设扇形的圆心为Of幺线段M1就是蚂蚁经过的最短距离，设OA=R,圆心角是风则由题意知10=aR，20=（20+R），由解得=看R=20.J。M=OM
5、l=30,OBl=08=40,.M8=5再丽=50.故选C.7.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作九章算术卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.如图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体；B,D,H,尸对应四个三棱柱，A,C,/,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为（）A. 24C. 32D.36解析：选B如图，令四棱锥的底面边长为,高为九三棱柱的高为b,依题意，四棱锥的
6、体积为色力=1,即CiIh=3,三棱柱的体积为呼油=3,即abh=6,因此=2A.于是长方体的体积V=b%=40=12,所以该正四棱台的体积为12+4+12=28.故选B.8. （2023十堪二棋）已知A,B,C,。是球O的球面上的四个点，圆Oi为aABC的外接圆.若圆Oi的面积为,AB=AC=BC=OOi,则四面体ABCo体积的最大值为（）解析：选B因为圆O的面积为,所以圆0的半径为1,AB=2sin60o=3,则球O的半径R=yTT5=2.所以四面体A8C。体积的最大值为TX乎X（2+小）=上苧后.故选B.9. （多选）己知A,B,C三点均在球。的表面上，AB=BC=CA=2,且球心。到平
7、面ABC的距离等于球半径的目则下列结论正确的是（）A.球O的表面积为6冗B.球O的内接正方体的棱长为1C.球。的外切正方体的棱长为D.球。的内接正四面体的校长为2解析：选AD设球。的半径为广，AABC的外接圆圆心为O,半径为R,易得R=芈.1143因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的?所以户一户=予得户=所以球。的表2面积5=4r=4=6,选项A正确；球O的内接正方体的楼长a满足5=2r,显然选项B不正确；球。的外切正方体的棱长力满足b=2r,显然选项C不正确：球。的内接正四面体的棱长c满足邛坐=2,选项D正确.10. （2023天泮布者）在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM=
8、；PC,线段P82上的点N满足PN=PB,则三棱锥PAMN和三棱锥P-ABC的体积之比为（）a1B29d9C.D.解析：选B如图，因为PM=PCtPN=与PB,所以SC=33“PBC3PMPN4g/BPCpmPN122VPFAm匕-pmvFPMNdC*PC=际巧巧所CO皆辿=d（其中d为点A到平面PBC的距离,因为平面PMN和平面PBC重“PBCy合，所以点A到平面PMN的距离也为小.故选B.11. （2023全国乙卷）已知圆锥尸O的底面半径为5,O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，NAoB=I20。，若以8的面积等于手，则该圆锥的体积为（）A. C. 3B.乖虱D. 36解析：选B在4A0
9、8中，ZAOB=120,而OA=OB=小,取AB的中点C,连接OCPC,有OC_LA8,PCJ-ABt如图，ZABO=30o,OC=坐，AB=2BC=3f由/8的面积为竽，得;933PC=-,解得PC=芈，于是尸0=,。2-OC2=芈一停=#,所以圆锥的体积V=OA1PO=t（3）26=6.12.（多选）已知三棱锥P-ABC的顶点均在半径为5的球面上，XkBC为等边三角形且外接圆半径为4,平面以8_1平面A8C,则三棱锥尸一A8C的体积可能为（）A.20B.40C.60D.80解析：选AB如图为三棱锥PABC若。，E分别为AABC外接圆P的圆心、三棱锥P-ABC外接球的球心，。为3C的中点，则
10、R=EC=EP/V=EA=E8=5,r=OC=4.而EOj平面ABC且AABC为等边三角形，,AB/弋=BC=AC=43,AD=6,EO=3.又平面附8L平面ABC1设P到平面ABC碌%。的距离为d,则VM推pfbc=%Wabc=4小d,而当a=P5时，有x=3+52-22=321,即OVd3+T,：.V三楂佻P-Ac（0,123l27,故选A、B.13.已知一个圆锥的底面半径为2,高为3,其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是.解析：设球的半径为R,已知圆锥的体积为jX22LA8,PAAC,又pACAB,所以外，AB,AC两两垂直，故可将三棱锥/一ABC补全为长方体，如图所示.J故三
11、棱锥P-ABC的外接球，即为长方体的外接球.令三棱锥P-ABC曲j三含C外接球的半径为R,则（2R）2=2+ab2+ac2=31,所以外接球表面积为4兀R2=3i.答案：3116 .将一个圆心角娉、面积为2的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为.2R=吗,解析：设圆锥底面圆半径为R,母线长为/,依题意，3,Rl=2,%=亚解得J37=6.圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰aABC及内切圆O.因为AB=AC=#,BC=-2-,点M为边BC的中点，所以AM=yAB2BM2=因此AABC的面积SMSC=TBCAM=J义斗邛/设AABC的内切圆半径为r,
12、则有SzABC=T(A8+8C+AC)r=l2+斗可厂=斗解得r=乎.此球的表面积为4r=专，所以圆锥内半径最大的球的表面积为竽.二、压轴考法增分练17 .(2023衡水中学三模)如图，平面ABCO_1_平面48EE四边形ABCoDi7C是正方形，四边形48E尸是矩形，且48=4,AF=I,若G是线段E尸上的动点，则三棱锥C-ABG的外接球表面积的最小值是()ZJ.A.16B.20FGEC.32D.364R解析：选C由题意可设AABG的外接圆半径为r,由正弦定理，知2r=.iP=SmNAG84TrSinNAG8当NAGB=I时，厂取得最小值2,此时外接球半径R满足/?2=3+2228,解得R2
13、2所以三棱锥C-ABG的外接球的最小半径为2i所以外接球表面积的最小值为4K=32.故选C.18.在正方体48CO-A中，M为棱B8的中点，平面ARM将该正方体分成两部分，其体积分别为,V2(VV2),则卷=()aab1a.9d.371CT72解析：选C如图，取BC的中点N,连接MMND,BC.因为M为棱BBl的中点，所以MNBC,MN=BiC.因为AlBiCD,AiBi=CD,所以四边形AiB】CD为平行四边形.所以8|CAN,BC=AD.所以MNAD,MN=yD.所以梯形MND4为平面AIoM所在的截面，则为三棱台BMN-AAID的体积.不妨设正方体的棱长为2,则正方体的体积为8.因为S/?MN=IXlXl=,SD=222=2,所以W=g(Si?MN+S4A4+SabmvSZWQ)48=WXt+2+1)X2=,.所以吻=8L=8呈所以卷=看.故选C.19.(2023济宁二模)/,为两条直线，,6为两个平面，满足
