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1、相交线，垂线(根底)知识讲解撰稿：孙景艳审稿：赵炜【学习目标】1 .了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2 .理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3 .理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4 .能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】要点一、邻补角与对顶角1 .邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180.邻补角
2、是成对出现的，而且是“互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.2 .对顶角及性质：(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角.(2)性质,：对顶角相等.要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3 .邻补角与对顶角比照:角的名称特征性质相同点不同点对顶角两条直线相交形成的角；有一个公共顶点；没有公共边.对顶角相等.都是两条直线相交而
3、成的角；都有一个公共顶点；都是成对出现的.有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.邻补角两条直线相交而成：有一个公共顶点；有一条公共边.邻补角互补.【高清课堂：相交线403101两条直线垂直】要点二、垂线1 .垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.要点诠释：(1)记法：直线&与，垂直，记作：alb,直线AB和CD垂直于点0,记作：ABJ_CD于点0.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：ZAOC=90%学冬CD_1.AB.性质2 .垂线的画法：过一
4、点画直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过点，沿此直角边画直线，那么所画直线就为直线的垂线(如下图).要点诠释：(1)如果过一点画射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3 .垂线的性质：(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.要点诠释：11)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有
5、”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4 .点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的,距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；(2)求点到直线的距离时，要从条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角Cl.如下图，M、N是直线AB上两点，Z1=Z2,问Nl与N2,2
6、3与N4是对顶角吗？Nl与N5 ,N3与N6是邻补角吗？【答案与解析】解：Nl和N2,N3和N4都不是对顶角Nl与N5,N3与N6也都不是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交.，才能产生对顶角或邻补角.举一反三：【变式】判断正误：(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.()(2)如果两个角相等，.那么这两个角是对顶角.()(3)有一条公共边的两个角是邻补角.()(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.()(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.(【答案】(I)X(2)X(3)(4)(5)X,反例：NAoC为120,射线OB为/AOC的角平分线，NAO
7、B与NAOC互补，且有边公共为A0,公共顶点为0,但它们不是邻补角.如下图，直线AB、CD相交于点O,Zl=65o,求N2、N3、N4的度数【答案与解析】解：TNl是N2的邻补角，Nl=65,Z2=180o-65=115.又YNl和,N3是对顶角，N2与N4是对顶角Z3=ZI=650,N4=N2=115.【总结r升华】(1)两条直线相交所成的四个角中，只要其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出N2后用“对顶角相等“，求N3和N4.举一反三：【变式】如下图，两直线相交，Nl与N2的度数之比为3:2,求Nl与N2的度数.【答案】解：设NI与N2的度数分别为3x和2x.根据题意，得3x+2x=1
8、80o.解这个方程得x=36,所以3x=108,2x=72o.答：这两个角的度数分别是108,72.3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解：如图，任意两条相交宜线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；有公共顶点，角的两边互为反向延长线.这6对角为Nl与N2,Nl与/3,Nl与N4,N2与/3,N2与/4,N3与N4,其中Nl=3,Z2=Z4,Zl+Z2=180o,Z3+Z4=180o,Zl+Z4=I80o,Z2+Z3=180o.在
9、位置上NI与N3,N2与N4是对顶角，Nl与N2,N3与N4,NI与N4,N2与23是邻补角.【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4.以下语句中,正确的有0一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与直线垂直；两直耍相交，那么交点叫垂足；互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】正确的选项是：【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线/外有一点P,那么点P到直线/的距离是().A.点P到直线/的垂线的长度.B.点P到直线/的垂线段.C.点
10、P到直线/的垂线段的长度.D.点P到直线/的垂线.【答案】C5.（山东济宁）如下图，直线AB、CD相交于点O,EO_1.AB于点0,NCOE=55.那么NBoD的度数为（）.A.40oB.45oC.30D.35【答案】D【解析】要求NBOD,只要求出其对顶角NAoC的度数即可.为此要寻找NAOC与NCOE的数量关系.因为EOlAB,所以AOE=90,所以NAOC=NAoENeoE=9055=35,所以NBOD=AOC=35o.【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图，直线AB和CD交于0点，OD
11、平分NBOF,OE_1.CD于点0,ZA0C=40o,那么NEOF=.【答案】130.Cs如下图，要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因.【答案与解析】解：过点C作CD_1.AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短.【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用.举一反三：【变式】（1）用三角尺或量角器画直线/的垂线，这样的垂线能,画出几条？（2）经过直线/上一点A画/的垂线，这样的垂线能画出几条？（3）经过直线/外一点B画/的垂线，这样的垂线能画出几条？【答案】解：（1）,能画无数条；（2）能画一条；（3）能画一条.
