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1、指数与指数箱的运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数基的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数事的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2 .掌握无理指数靠的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3 .通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4 .通过对根式与分数指数鼎的关系的认识，能学会透过外表去认
2、清事物的本质.【要点梳理】要点一、整数指数塞的概念及运算性质1 .整数指数塞的概念2 .运算法那么m3 3)-=am-n(mnftz);(ab)m=ambm.要点二、根式的概念和运算法那么1 .n次方根的定义：假设x*l=y(nN*,nl,yR),那么X称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为内：负数y的奇次方根有一个，是负数，记为正；零的奇次方根为零，记为五二0；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为土方；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为炳=0.2 .两个等式(1)当1且wN时，=Ci；(2)=,(为奇数)|。|(为偶数)要点诠释：要注意上述等式在形式上的
3、联系与区别；计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数,可先写成Ial的形式，这样能防止出现错误.要点三、分数指数塞的概念和运算法那么为防止讨论，我们约定a0,n,mM,且更为既约分数，分数指数箱可如下定义:n要点四、有理数指数塞的运算1.有理数指数器的运算性质aaa=aa(40)Ji;(3)(ab)a=aaba当a0,P为无理数时，球是一个确定的实数，上述有理数指数累的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数事的意义与运算性质，将根式转化为分数指数寻运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如Vm
4、)2(V4)2;2(3)某指数不能随便约分.如(-4户(-4户.2.指数塞的一般运算步骤有括号先算括号里的：无括号先做指数运算.负指数鼎化为正指数鼎的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用哥的形式表示，便于用指数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2-h2=(a-b)ab2=a22ahZ?2,(ab)3=a33d1b-3ah2b,a,-bi=(ab)(2+tzZ?+/?2),苏+炉=a-b)d1-ah-b2)的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.计算：(1)5+26+7-43-6-4；【答案】2五;2【解析】对于(
5、1)需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于(2),那么应分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1) 5+26+7-43-6-二7(3)2+23x+(2)2+22-223+(3)2-22-222+(2)2=J(G+应)2+J(2一逐)2-J(2-0V=I3+2+2-3-I2-2|=3+2-3-(2-7=-2+lQl2-l6+1=+(0+1)(0-1)(应-1)(&+1)-2-l+2+l=22【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例(2)中，1_
6、2+l的分子、举一反三：【变式1】化简：(1)3-22+/(l-2)3+(l-2)4；(2) -2x+l-Jf+6x+9(x3)(1)2-l;(2)【答案】-2x2(3X1),-4(lx0)：(1)ci2；(2)cc,c；(3)yaa；(4)5135【答案】a2；a3；a4；y4【解析】先将根式写成分数指数基的形式，再利用哥的运算性质化简即可。12+15(1)a2ya=a1a2=a1-a131_3ayfa=(aa2)2=(2)2=c；=r解法二：从外向里化为分数指数昂。m【总结升华】此类问题应熟练应用=0,凡N,且n1).当所求根式含有多重根号时，要搞消被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数
7、塞写出，然后再用性质进行化简。举一反三:高清课程：指数与指数运算例1【变式1】把以下根式用指数形式表示出来，并化简(1)ycy2a；1.X1.yjyjxI32【答案】2*a*;(2)”。【变式2】把以下根式化成分数指数累:(1) 8/2；(2)/ciyc(tz0)；(3)hib；(4)。也诉P2.3UN【答案】2法；苏；b7；例3.计算:(2) 73-3(3) 125+玳-36)2+(11-4)6-(3-11)3。【答案】3；0；21【解析】（1）原式=（0.3）T-d+2fi=-i=3:33333原式=7%-6%一2%+将=0；（3）原式=-5+6+4-万-（3-4）=2；【总结升华】（1）
8、运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数事.举一反三：【变式1】计算以下各式：(工卢(-)+80252+(V23)6;(2)2I-8a,(1-2；F)./+2+4”曾【答案】(1)112(2)at.1)(-l)11112+l【解析】原式=83l+(23)424+(23)6(32)6=22442233=112；(。-砌-ii-面)3-(23原式=I“：物I(宗)2+2ciibi+(2序)2cii-2bi例4.化简以下各式.215X3*(0.027)%(=./【答案】24;m+w；0.09【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同-字母的化为该字母的指数
9、运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.21_112/、m+mi+2-1-m2+W2m2+m2.11jj-=m2+m2m2+n2-(21(0.027)3+【125J/7052-I9)举一反三:【变式1】化简-2-2x-vy-2-2X一)22X3-y【答案】-2逅孙2【解析】应注意到与k2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,原式=2=-2(xy)3【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1,且不含非正整数指数累；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2
10、】化简以下式子：(1) 3+/（2）4+26（3）x2+2x+1+x3-3x2+3x-l2-2-3【答案】22+6;18+2;【解析】（1）原式=2(3+3)2x(x-l)-2(x+26=8+22x(x-1)-2(x-1)(3) ,x3-3x2+3x-1=(xT)3=x-l.,.5x2+2x+1+Vx3-3x2+3x-1=、高清课程：指数与指数运算例43_31r2+r2_3例5.x2+x2=3,求，？的值。x2+x2-2【答案】-3【解析】从条件中解出X的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件2+2=3的联系，进而整体代入求值。12X2+x=3f:.x2+x,=9,
11、x+x,=7/.X2+2+x-2=49,/.X2+X2=453_31_1_.)(1+C-3X2+x2-247-2_3x(7-l)-3_15_15-45-3【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后3_3代换”方法求值。此题的关键是先求J+E3及/+AT?的值，然后整体代入。举一反三：【变式1】(1)242(a为常数)，求8+8X的值.112_y2(2)x+y=12,xy=9,且xy,求一匕r的值.+y2【答案】4-3。；3解析(1)8*+85+2*=(2x)3+(2x)39xX2-y2X2-y2X2-y2(2-y2)2(+y)-2(y)2X2+y2X
12、2+y2X2-y2(x2)2-(j2)2)又.+y=12,xy=9,(-y)2=(x+y)2-4xy=122-4X9=108.2又xy,x-y=_66代入(1)式得：X：=12-29?=_立1.i-633【总结升华】(1)对幕值的计算，一般应尽可能把晶化为底数是质数的指数累，再考虑同底事的运算法那么以及乘法公式.(2)一般不采用分别把X,y,2的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2*+2x+y及Xy整体代入后再求值.例6.Ioa=2,1(X)=3,求100o的值【答案】33【解析】先把100=3化成10=6,然后利用“整体代换”的方法去求值.由1OO=1O2=（io）2=3,所以10=66jW6tz2664A-1二可飞二牙近
