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1、8.6空间直线、平面的垂直8.6.1 宜线与宜线垂宜新课程标准解读核心素养1 .借助长方体,通过直观感知,了解空间中宜线与直线垂宜的关系逻辑推理2 .会求两异面直线所成的角直观想象高效学习G知识梳理读教材口基础落实,此情境导入,如图所示,正方体ABCD-A由GD中,A8与BiG异面,A8与豆。也异面.问题(1)宜观上,你认为这两种异面有什么区别?(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面,你认为应该怎样做?新知初探,知识点一异面直线所成的角1 .已知两条异面直线,b,经过空间任一点。分别作直线优,b7b,我们把直线与_幺_所成的角叫做异面直线与b所成的角(或夹角).2 .空间两条直线所成角的取值
2、范围是090.提醒(1)两条异面直线所成的角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点。的位置选取无关;(2)找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.知识点二直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是一,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线“与直线b垂直,记作Jb.提醒两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直和异面垂直两种情形.自做一做1 .设4,b,C是三条直线,且c_1.a,C-1.b,则和6()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析:D如图,若。=c,DICl=a,AlDl=4则。
3、和b相交;若。=c,D1C=,D=bi则。和b异面;若。Z)I=C,DC=a,DC=b,则和b平行,所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2 .设P是直线/外一定点,过点P且与/成30。角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析:A过点尸且与/成30角的异面直线有无数条,并且异面直线在以尸为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3 .若NAoB=I20,直线。4,。与03为异面直线,则。和08所成的角的大小为.解析:因为aOA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以4与03所成的角为60。.答案:60技法归纳活学活用回G题型突破.析典例
4、口题型一求异面直线所成的角【例1】在空间四边形ABCO中,AB=CD,且AB与CO所成角为3()。,E,F分别为BC,A。的中点,求七尸与AB所成角的大小.解如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,A则EGB且EG=ABtGF/CD且GF=CD.由AB=Co知EG=FG,从而可知NGEF为E尸与AB所成的角,NEGF或其补角为AB与CO所成的角.CAB与CD所成角为30,JnEGF=30。或150,由EG二产G知AEFG为等腰三角形,当NEG产=30时,NGEF=75,当NEG产=150时,NGEF=I5,故所与AB所成角的大小为15或75.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤(1)构造角:
5、根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角;(2)计算角:求角度,常利用三角形:(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒找异面直线所成的角,可以从如下“口诀”入手:中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行直线若在外,补上原体在外边.Cf跟踪训练1.如图,在三棱锥PABC中,PA=PB=CA=CB=S,A8=PC=2,点0,E分别为48,PC的中点,则异面直线尸,BE所成角的余弦值为(PE112C.-4解析:B23BR
6、D.-6如图,连接C。,取CO的中点F,连接E凡BF,则所PD,n8尸为异面直线尸。,8E所成的角.由题意可知PO=CO=B七=2乃,EF=瓜BF=J(6)212所以cs8M=总照g=爱故选B.2.如图,在正方体A8CO-EFGH中,0为侧面AOE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)/。与8。所成的角.解:(1)YCGFB,.nE8f是异面直线BE与CG所成的角.在Rt尸8中,EF=FB,:.EBF=45o,:BE与CG所成的角为45.(2)如图,连接/77,HG易知FB=HD,FB/HD,J四边形FBDH是平行四边形,naFO或其补角是尸。与8。所成的角,连接AFf则是等边三角形,又
7、O是A的中点,:工HFo=30,FO与8。所成的角为30.题型二证明直线与直线垂直【例2】在正方体AG中,E,尸分别是4%,BiG的中点,求证:DBjEE证明如图,连接AeBlDlt并设它们相交于点O,取OS的中点G,连接OG,AiG,GG.则OG/BiDtEFAC.nG04为异面直线。丛与EF所成的角或其补角.VGAi=GCi,O为AlCl的中点,GOIAiCi.J异面直线OB与EF所成的角为90。,即O6i1.EF.通法证明空间中两条直线垂直的方法(I)定义法:利用两条直线所成的角为90。证明两直线垂直;(2)平面几何图形性质法:利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)
8、底边的中线和底边垂直等.0.跟踪训练在直三棱柱A8C48G中,ACA.BC,求证:CBC.证明:如图,连接A3,设明G=0,BC=b,AA=h,则A序=d+比因为三棱柱ABe-AISG是直三棱柱,所以n88G=nAA8=90,所以BC/=+力2,AB2=a2+2+2,所以482=AiC+8C,则AIGJ1.8G,即NAlGB=90.又因为4C4G,所以NAlC出就是直线Ae与BG所成的角,所以ACJ_8G.局随堂检测1 .如图所示,在正方体ABCQ-A由IGDl中,下列直线与垂直的是(BAz)DBCA.BCiCAC解析:C连接班)(图略),四边形A5CD为正方形,:.AC1.BD,VBDJBD
9、,2 .如图,在直三棱柱A8C-A8G中,若AB=AC=A=1,BC=2,则异面直线Ae与囱G所成的角为()A.90oB.60oC.45oD.30o解析:B根据题意可得BC为G,故NAICB为异面直线Ac与SG所成的角或其补角.连接A8(图略),在4A8C中,BC=AiC=AI=VZ故iC8=60。,即异面直线AC与BlG所成的角为60。.故选B.3 .(多选)四棱锥尸-ABCQ的所有棱长都相等,MfN分别为PA,Co的中点,下列说法正确的是()AMN与Po是异面直线B.MN平面PBCCMN/ACDMNSB解析:ABD由题意可知四棱锥尸-A5CD所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,MN与PD是异面直线,A正确;取尸8的中点为H1连接MH,HC,可得MNC,所以MN平面P8C,B正确;因HCAC=C,C不正确;因为HCtPB,所以MNJ_尸5,D正确.故选A、B、D.4 .如图所示,在正方体ABCQ-A由IGDI中,异面直线A由与ADl所成的角大小为.解析:连接8G,AG(图略),8GAO,异面直线A由与Ad所成的角即为直线A山与BG所成的角.在A山Cl中,A1B=BCi=AiCi,/.A1BC=60o,故异面直线A山与AD所成的角为60.答案:60