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1、平行四边形模块中档题过关30题（解析版）专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。平行四边形-：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总平行四边形矩形菱形边的方向平行四边形角的方向大小关系位置关系对角相等邻角互补对角线：互相平。为AC中点。为8。中点角二90对角线相等邻边相等对角线垂直二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法边的方向一组对边平行且相等两组对边平
2、行两组对边相等平行四边形的判定角的方向：两组对角僻对角线：对角线互相平分OA=OCOB=OD1 .（长郡）如图，在平行四边形ANa）中，对角线AC,加相交于点O,分别过点4,。作AE1.4D,CFBD,垂足分别为E,F.AC平分NAME.（1）若NAQE=50o,求NACe的度数；（2）求证：AE=CF.D【解答】(1)解：AE-1.BD,.NAEO=90,VZAOE=50o,ZEA6=40o,.CA平分NoAE,JNOAC=NEAO=40。，:四边形ABCo是平行四边形，.ADBCfZACB=ZDAC=40o;(2)证明：四边形A3CO是平行四边形，.O4=OC,AE_1.8。，CFVBD1
3、ZAEO=ZCFO=90,VZAOE=ZCOf,：.AAEOCFO(AAS),：AE=CF.2 .(2021秋长沙期中)如图，在OABCO中，AE平分N84。交30于点E,交BC于点M,C/平分NBCo交BD于点、F.(1)求证：AE=CF;(2)若NA8C=70。，求N4M8的度数.【解答】(1)证明：四边形ABeD是平行四边形，J.ABCD,AB=CDfZBAD=ZBCD./48=/。0户，4：平分/34。，CF平分NBCD,ZBAE=ZDCFf,AABEgZkCOF(ASA),J-AE=CFx(2)Y四边形ABCQ是平行四边形，：.AD/BC,ZfiD+ZBC=180o,VZABC=JO
4、0tZBD=110,.4平分/朋O,AD/BC,ZAMB=ZDAM=550.3.(2018吉林模拟)如图，在。ABC。中，E是8C的中点，连接AE并延长交OC的延长线于点E(I)求证：AB=CF;(2)连接DE,若AO=2A8,求证：DE1.AF.【解答】证明：(1)四边形ABCo是平行四边形，,AB。尸，JNA8E=NFCE,YE为BC中点，rZABE=ZFCE：BE=CE,ABEFCE,BE=CE，AEFCE(A5A),：.AB=CF;Zaeb=Zcef(2) ,：AD=2AB,AB=FC=CD,：.AD=DF,VABEFCE,AE=EF,DEF.4 .(明德)在平行四边形ABCD中，点E
5、,F分别是BC,CD上的点，B.DF=CF,连接AE,AF,并延长AF交BC的延长线于点R(I)求证：AADFgAPCF;(2)若AE=2,AF=4,ZEAF=60o,求PE的长。【解答】(1)证明：四边形ABCO是平行四边形，A)BC,JNo=NPC凡Nd=Npcf在AAO/和/中，DF=CF，4DFPCF(ASA)；Zafd=Zpfc(2)解：作七M_1.AP于M,如图所示：VZEF=60o,NAEM=90-60=30,J.AM=lAE=fE=34=3,由（1）得：AADFQAPCF,2；P尸=A尸=4,AP=S,PM=AP-AM=I,AP=VeM2+PM2=V（V3）2+72=2,矩形矩
6、形的判定：三个条件或者“2+1”模式三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.5 .（2021秋雨花区校级月考）如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,B。相交于点O,BOCACEB.（1）求证：四边形08EC是矩形；（2）若NOAC=30。，A8=4,求矩形OBEC的周长.【解答】（1）证明：YABOgACEB,：,OB=EC,OC=EB,，四边形OHEC是平行四边形，Y四边形HBC。是菱形，：.AC1.BD,：,ZBOC=90%，平行四边形OHEC是矩形；（2）Y四边形ABCO是菱形，AD=AB,A0=0C,B0=D0,VAB=4,二AD=
7、4,=NDAC=30。,ZDO=90o,D0=-Ud=2,由勾股定理得：AO=yjAD2-DO2=V42-22=273，即BO=OO=2,CO=AO=2,；四边形OBEC是矩形，；,BE=CO=2心EC=Bo=2,矩形OBEC的周长=8E+EC+CO+8O=25+2+25+2=43+4.6. (2021秋信宜市期中)如图，在菱形48Co中，对角线AG8。交于点O,过点A作AEJ_BC于点石,延长BC到点区使C尸=连接OF.（1）求证：四边形AEFO是矩形；（2）若AO=10,EC=4,求AC和石。的长度.【解答】（1）证明：:四边形ABCo是菱形，4Q5C且AD=BC,TAE=CE.8C=ER
8、：.AD=EFtAD/EFt，四边形AEFo是平行四边形，VAEBC,ZAfF=90,，四边形AEFO是矩形;(2)解：Y四边形ABCO是菱形，AD=IO,：,AD=AB=BC=XO,VEC=4,BE=10-4=6,在RtABE中，AE=*y2-g2=y1Q2-=8,在RtAEC中，AC=y8445,VZAEC=90o,AO=CO,OE=aC=2527. （2022长沙模拟）如图，已知048CO,E尸为BC边上的垂直平分线，BC=FC=2AB,且NABC）=90。.（1）求证：aABD/ACEF；（2）连接AF,请判断四边形A8。尸的形状，并说明理由.【解答】（1）证明：V四边形ABCf）是平
9、行四边形，.8C=AZA8=8,YEF为BC边上的垂直平分线，：.BC=2EC=2BE.NFEC=90。,：BC=FC=2AB,IEC=AB=CD,BC=BF=FC,JZXBC尸是等边三角形，,AD=FC,JNABO=N尸EC=90。，在RtABD和RtCE尸中，AD=CF,ria8OgRqCEF（H1.）iIab=CE8C广是等边三角形，：,BC=FC=2AB=2CD,：.FD=CD=AB,9:AB/CD,四边形A8Z是平行四边形，NA8O=9（）O,.四边形AB。尸是矩形.8. （2021秋开福区校级期末）如图，在矩形ABCO中，点。为边48上一点，以点O为圆心，OA为半径的。与对角线4C
10、相交于点E连接BE,BC=BE.（1）求证：BE为。的切线；（2）若当点E为Ae的中点时，。的半径为1,求矩形A88的面积.B【解答】证明：（1）连接OE,Y四边形ABC。是矩形，,N48C=90。,*：0A=0E,BE=BC,ZEAO=ZAEO,ZCEB=ZACB.NAC8+/CAB=NAEO+NC仍=90。，Z0E=90o,YOE为。的半径，,BE是。的切线；(2)解：在RSA8C中，点七为AC的中点，：,BE=CE=AE=BC,AZfiAC=30o,NACB=60。，AZfBO=30,在RS8OE中，OE=I,/.OB=2OE=2,BE=JOE=M,A=1+2=3,BC=BE=3,，矩形
11、ABCD的面积为BC=339.(青竹湖)如图，菱形ABcD对角线交于点O,BEAC,AEHBD,Eo与AB交于点产。(1)求证：四边形AE8O是矩形；(2)若EO=I0,ZEBA=Oio,求菱形ACD的面积。【解答】（1）证明：3EAC,AE8。，J四边形AEBo是平行四边形，:四边形48C。是菱形，：.ACA-BD.NABD=CBD,二四边形AE8。是矩形；（2）解：由（1）知四边形A砧0是矩形/砧0=90。/七84=60。/480=30。在RtAABO中，A8=10,NABO=30.AO=5,BO=53,D=103.菱形48CZ）的面积=ABD的面积+BCD的面积=2xaABD的面积=2-
12、.10353=5O310.（麓山国际）如图，菱形AB8的对角线4C,班相交于点O,E是AD的中点，点尸，G在AB上,EhAB,OGHEF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若A=10,EF=4,求QE和友;的长.【解答】解：（1）Y四边形ABCD是菱形，O8=OQ,E是AZ）的中点，,OE是AABD的中位线，OErG,YOG石凡，四边形OE/P是平行四边形,9JEF1.AB,JNE尸G=90。，平行四边形OE尸G是矩形；（2）V四边形ABC。是菱形，.BDAC,AB=AO=10,ZAOD=90o,TE是A。的中点，OE=AE=1.O=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形,2：,FG=OE
13、=5,VAE=5,EF=4,A产=JAE2RF2=3,：.BG=AB-F-FG=10-3-5=2.11.如图,AC=BC,D是AB的中点,CEAB.CE=1.aB.2(1)求证：四边形CDBE是矩形。若AC=5,CD=3,F是BC上一点，且DF_1.BC,求DF长。CE【解答】(1)证明：.AC=BC,JaACB是等腰三角形，是A8中点，。8=/8,CD上DB,TCE2=1.B,工。B=CE,.CEAB,四边形CO8E是平行四边形，又TCO1.Z)B,二四边形CoBE是矩形；2(2)解：在RtCO3中，NCDB=90。,CB=AC=5,CD=3,BD=yj22=VDF1BCF,:.DFBC=C
14、DBD,解得：DF=-.5菱形菱形的判定：三个条件或者“2+1”模式四条边都相等；对角线垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形.12. (2022春长沙期中)如图，矩形A8C。的对角线AC,8。相交于点。，将OCQ沿CQ所在直线翻折，点O的对称点为点E(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若NCS力=30。，Co=2,求四边形OCEO的面积.【解答】(1)证明：四边形ABCZ)是矩形，OO=CO,由折叠可得，OD=ED,OC=EC,：.OD=ED=OC=EC,：.四边形OCED是菱形；(2)解：VZBCD=90o,ZCBD=30o,CO=2,：,BC=MCD=由(1)知四边形ODEC为菱形，连接OE.JCE/OD且CE=OD.CE/BO且CE=BO.四边形OBCE为平行四边形.JOE=BC=2a,四边形OCED的面积=J1.CzOE=1.2x2=25.2213. (2022春开福区校级期中)如图，在AABC中，AC=BC,点。、E、尸分别是A8、AC.BC的中点,连接。E、DF.(1)求证：
