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1、微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧(1)互倒模型(2)平方和与积的转换(3)条件等式求范围(4)换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1.若2,b3,则十的最小值是()a-2力-3A.16B.18C.20D.22【答案】C【解析】因为。2,b3,所以49=a-2+/?-3hFlOa-2b-3a2h2a1-4+4h2-9+94=4a-2b-3a-2b-3-2)-3)10=2(当且仅当=4R6时，等号成立)，所以，十三的最小值是20.故选：C
2、例2.设。勿0,那么J+1、的最小值是.b(a-2b)【答案】16【解析】因4Zh0,Mh(a-2b)=2ba-2h)-(2/?+2Z?)2=y,当且仅当给=-M,即b=时当且仅当片=即仁】时取，=，因此，=2)8x27J=168所以当=m4时，得取最小值故答案为：16例3.已知正实数源且+”2,三的最小值是（A.2B.IciD.【答案】C【解析】因为正实数db,a+2b=2t故3+l)+(3+D=4,所以W=*+D+侬+1)XWTj誓)“1+11z,2b+xa+lII2b+a+lI一故+=-(1+)+=-+-+-+2a+2b+4a+2h+44+l2b+41=544当且仅当。=I6=?时取得等
3、号，36故选：C例4.若正数,b满足1.+1=l,则上+普的最小值为一.aba-b-【答案】16【解析】因为正数m满足ab则有1.=-1.=!l,abh三=i11tz-l口r1七1b=1=,即启=-fbaaa-aMd*4164b16a、rUb16.,则有+=+2J=16,a-b-abVabb当且仅当竺=华即有b=2,又i+J=l,abab3即有=,b=3,取得最小值，且为16.2故答案为：16.例5.已知实数x2y0,z0,则r彳二十丁丁的最小值为x+2y2y+3z【答案】1+四【解析】因为x2y0,z0,所以%+4y+3zxx+2y2y+3zx+2y+2y+3zxx+2y2y+3z2y+3z
4、Xx+2y2y+3z1+23,+3z+xl+22y+3z=122x2y+3zV2x2y+3z当X=2yf2yh3z=X=2x=2y+3z,x=2y取等号“2x2y+3z综上所述：x+4)：3z+不；的最小值为+x+2y2y+3z故答案为：1+041例&已知当小赤m取到最小值时，-341【答案】4【解析】知。方0,当4a+丁三+/取到最小值时，a=42a+b2a-b4I41由题意知：4+-+-=2+Z+-+2a-b+-2a+b2a-b2a+b2a-b可+与T2j(2f)一=6，4131当且仅当2a+b=-,2a-h=即=,b=3;时取等，2a+b2a-b42故当44+42a+h有取到最小值时,3
5、故答案为：4.4例7.已知正数,人满足+b=l,cR,则r工+l+3的最小值为bc+babc+ah【答案】62-3【解析】由。+。=1,得6+2+=l,a0,00,r113a1c21/3。a2+2ab+b2xC21Aab小八？则一；+；+3c2=F(+)+3c2=F(+-+2)+3c2bc+bahc+abc+babc+ba-A7+3(c2+1)-36-3,当且仅当b=2。,-AT=3(/+1)时取“二”，c+lc+1所以当。=2乃=,。2=应-1时，停+1的最小值为6应-3.33bci+babci+ab题型二：平方和与积的转换例8。也C是不同时为的实数,则忐%的最大值为.【答案】y【解析】ab
6、+be_ab+bea2+2bi+c2a2+b2+b2+c2a2+b22abb2+c22bc当且仅当a=时取等号所以7%=占认旌W*7的最大值为1例9.若实数如满足病+4*，则金的最小值是【答案】J【解析】解析：令X=6,y=2，则_4恤一2刀.尸田+力=,因为（3T3=1.所以m+2n-x+y-x+y-1x+y-2J22-拒y从而当尸即g,当且仅当户尸当时，等号成立，故事的最小值为1-应.故答案为：1-例10.若实数满足42一=4,则5宗+2必的最小值为【答案】4解析】4/+=1，设+g=x,则x0,a-g,S/+2a/?=5x；（x+，）+（x+，）（x）=；（9f+4）+.x2+=4,等号
7、在冬即叫竽小一半或竽三竽时成立.所以5/+2必的最小值为4.故答案为：4例11.)已知0,则M=/：；15+j(2-/)的最大值为a+tzl1,11=;=-=【解析】当O“2时,a2-a2=Ja?(2-/)，二；匕=1,当且仅当/=2-/时，即当=1时，等号成立.因此，当。=1时，M取得最大值，即MnIaX=：+1=；.故答案为：,.4例12.若次，XZ均为正实数，则,斗：,的最大值是.x+y+z【答案】亚2【解析】因为,y,z均为正实数，XVVZ_xy+yz所以+4+Z?一评+92)+(；/+/,即初,Z=芋y时等号成立.xy+9y2=l,则x+3y的最大值为.3153i?X=X=当且仅当x
8、=3y,即2或F时，等号成立，51515U15I15221io.(+3,)2=x2+6xy+9y2=1+Ixy1+7-=,.215_215.-x+3y一$一，X+3)，的最大值为名叵.5故答案为：巫.5Xy+yz,19例4不等式号七对任意正数z恒成立,贝普的最大值是一【答案】1，版土二YI.1、/Xy+户_Xy+)Z-1、cC-cX+2y+zX+y+y+z2xy+2yz2、3）；?+z2的最大值是、，即l+g-423,解得-gl,所以的最大值是1.故答案为：1例15,若0,bOf且他=3a+劝+27,则必的最小值为（）A.9B.16C.49D.81【答案】D【解析】由题意得=3+3A+276疯
9、+27,得而一6而-27=（痛一9）（向+3）0,解得疯9,即时81,当且仅当a=6=9时，等号成立.故选：D例16,已知实数。力，且而0,则21”2R的最大值为.+h+ab+4【答案】IO【解析】由+z2bo,所以22岸土OJa+b+ab-+42ab+ab+4ab1,11又由2昉+W+42+ah+6,abVab当且仅当=6时，等号成立，所以可一产HJ.a-+b-+a-b-+46故答案为：!6例17.设x0且则;了的最大值为【答案】空4【解析】由题意，x0,l+y20由均值不等式，当0,0时，a2+b22ababO,yO,x+y-y2=4,则/+；的最小值等于()A.2B.4C.gD.-24【
10、答案】B【解析】)x+y-x2y2=4,可得x+y=fy2+4且xO,yO,匚匚“11x+yx2y2+44、CI4.xyxyxyxyyxy4当且仅当Xy=一时，即肛=2等号成立，所以的最小值为4.故选：B.例21.已知实数X,满足f+V=3,则(2二Y)2+(Tzv7的最小值为4【答案】-解析】设(2x+y)2=tn,(m0),(x-2y)2=n,(n0)可得m+=(2%+y)2+(x-2y)2=5(x2+/)=15,lll111zsz11.lz-n叭、1z_In?、4则r+r=(m+)(F)=(2+F)(2+2.1)=.(2x+y)2(x-2y)215mn15mn15Nmn15当且仅当W,即机=与时，等号成立.mn24故答案为：4X+3V例22.已知x0,y0,且x+2y=2,则一十的最小值为.X3y【答案】3+逑3【解析】因为+2y=2匚山、I4x+3y2x+4yx+3y_4yxCCqC43所以一+1=4+=l=3+-+-3+2J-=3-X3yX3yx3jV33公=二r当且仅当X一3旷，即=3-Iy=农二i时，取等号，x+2y=2所以&+甘红的最小值为3+生叵.X3.y3故答案为：3+生叵3例23,若正数小人满足为+人=1,则不?+工的最小值是2-2a2-b【答案】巫-1.32【解析】设=2-2,y=2-0,则。=三口=2-口，可得+y=3(%vO),2所以2-2
