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1、什么是模态？模态就是所研究系统可能的振动形态，也叫振型。理论上，有n个自由度 的系统就有n阶模态，也就是有n个振动形态，并且每一个振动形态对应一个振动的频率， 这个振动频率就是固有频率。模态分析就是求系统的振型和对应的固有频率。我们先从单自由度系统开始，来理解模态的概念。弹簧振子系统t单自由度系统的动力学方程是：而O 耽HE = /)它表示惯性力、阻尼力、弹性力和外力的平衡。对于视频中的弹簧振子系统，不考虑阻尼力的存在，并且是自由振动。因此对于弹簧振 子的无阻尼自由振动，它的动力学方程简化为：wu()+(z) = O (C = O,p = 0)这是二阶线性齐次微分方程，它的解为：伍 优 (k=
2、 CO CoS /+C1 sin 1/t = C2 sin Jt+从解中可以看到，弹簧振子系统的振型形态是简谐运动(视频中也可以看出)，对应的 固有频率：式中，C2为幅值，为相位，由初始位置决定。从固有频率的表达式中可以知道，固有频率跟质量和刚度有关，质量越大，固有频率越 小；刚度越大，固有频率越大。因此，如果需要调整结构的固有频率，可以从系统的质量和 刚度两个方面去考虑。下面举一个具体的例子。在弹簧振子系统中，质点的质量是IOkg,刚度为IoOOoONm, 那么它的固有频率是多少呢？很简单，只需要将质量和刚度代入到固有频率等式中，即可求出。我们可以用midas程序来验证一下。从视频中可以看出
3、，midas程序计算的结果与理论计算结果是一致的。了解单自由度系统的振动形态和固有频率，有助于我们理解模态分析的物理含义，也有 助于我们理解两个甚至多自由度系统的振动形态和固有频率。各种模态分析方法总结与比较一、模态分析模态分析的理论经典定义:将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐 标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态 参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应 用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。 这些模
4、态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这 个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集 的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都 是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析方法搞 清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性,就可能预言结构在此频段 内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故 障诊断的重要方法。模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障 诊断和预报以及结构
5、动力特性的优化设计提供依据。二、各模态分析方法的总结1.单自由度法一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。但是如果假定在给定的 频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。以这个假定为根据的模态 参数识别方法叫做单自由度(SDoF)法Mo在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表 达表示近似为：距)=MH他；而频域表示则近似为：M/)=+网-经L 3，(U) l单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。这种单自由度的假定，只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。然而实际情 况通常并不是这样，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据
6、进行近似，同时识别这 些参数的模态，就是所谓的多自由度(MDoF)法。单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因此在当前小型二通 道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选项。然而随着计算机的发展，内存不 断扩大，计算速度越来越快，在大多数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多 自由度方法。(1)峰值检测峰值检测是一种单自由度方法,它是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计 (固有频率和阻尼)。峰值检测方法基于这样的事实：在固有频率附近，频响函数通过自己 的极值，此时其实部为零(同相部分最小)，而虚部和幅值最大(相移达90。，幅度达峰值) 图1。出现极值的
7、那个固有频率就是阻尼固有频率r的良好估计。相应的阻尼比r的估计 可用半功率点法得到。设l和2分处在阻尼固有频率的两侧(lvrk7m而临界阻尼分数或阻尼比Gl为：l=CCc,阻尼有时也有用品质因数即Q因数表示： = V(2)系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统(，11)、临界阻尼系统(l=l)和欠阻尼系统(ll)过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。欠阻尼系统的响应时一种衰减 振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们 只研究欠阻尼的情形。在欠阻尼的情况式1 = JW+f两个共规复根：4 =
8、5+/，4 = 5 -其中，l为阻尼因子，l为阻尼固有频率。有关系统极点的另外一些关系式有：4 = M+AHn Q】品题+aQI = +d 式L 3 34) l j /可写成如下形式：H（P） =1/M（尸-4）+（。- Z）在展开成部分分式形式，则有:MM =含+含这里，1/般4 =j2%这里的Al和Al*是留数。多自由度系统多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。下面是 以多自由度系统为例。如图：图3多自由度系统该系统的运动方程如下：M1 + +C2) (t)-C2x2 (Z)+(一+“2)()-扁二(，)=工M2 + (6 + G) & 一 (z)+ (勺+
9、玄3)勺(。一石2再(2)=力(2)写成矩阵形式是M利+可+幻=，其中M、C、K、f(t)和x(t)分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响 应向量。把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域(变量为P)且假定初始位移和初始速度为 零，则得：(/M+pC+KDX(p)=尸或者是Z(MX)=尸式中，Z(P)动刚度矩阵。可以得到传递函数矩阵为：囱叫=四时=常抄式中，adj(Z(p)为IZ(P)I的伴随矩阵，等于但ijZijT; IZijI为Z(p)去掉第行第列后的行 列式n如果?+意于偶数卜1 如果+)等于奇数的传递函数矩阵含有幅值函数。与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共
10、振频率。根据特 征值问题，可以求出系统特征方程的根。为了把系统方程(党的+HC+K)体=巴创转化为一般的特征值问题公式，加入下面的恒等式：(加灼-p)/=0将此式与式(7+pC+勺)X(p) = 9(创结合在一起得：(。网+即=伊如果力函数等于零，那么伊卜巴明-，岑群就成了关于实值矩阵的一般特征值问题：p+5=0它的根就是特征方程IZ(P)I=O的根。同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部 是阻尼因子，虚部是阻尼固有频率。3.实模态和复模态按照模态参数(主要指模态频率及模态向量)是实数还是复数，模态可以分为实模态和 复模态。对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，
11、其模态系数 是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼振动系统，各点除了振幅不同外，相位差也不一定 为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。(1)更模态与实模态理论在拟合频段，实模态理论中传递函数在k点激励Z点响应的留数表达式为/(0)= 卢=rx2 = arctan (kfl = r2tfn)其中，rRkl为留数，5和Vr构成的更数为系统的复特征值r, r=-Gr+jvr拟合频段复 模态理论中传递函数在k点激励f点响应的留数表达式为H (=：|典|*K Y2jbf(f), rRuU 2卮+(4-0)2q = - arctan伏J = 1,2, .,%)由上式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相位的差别，在于多出的 复留数相位r,由传递函数的逆变换可以得到脉冲响应函数
