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1、第5讲正交小波构造5.1正交小波概述5. 2由4()递推求解阿)的方法。5.3消失矩、规则性及支撑范围5.4Daubechies正交小波构造5.5接近于对称的正交小波及Coiflet小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间吃中存在正交归一基加-幻次Z,由。作尺度伸缩及位移所产生的WjJi3,Z是匕中的正交归一基。是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定匕的正交补空间中也存在正交归一基%),ZeZ,它即是小波基，Mf)为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波以。所谓“正交小波”,指的是由(t)生成的(t-k),k三Z,或
2、以空间中的正交归一基,j,ksZ。Daubechies在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。5.1正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求，一是Haar小波，二是ShannOn小波。1.Haar小波我们在4.1节中已给出Haar小波的定义及其波形，Haar小波的尺度函数。重写其定义，即10rl2(，)=1121(5.1.1)0其它。=LOf1n.X其它(51.2)显然，/)的整数位移互相之间没有重叠，所以Mt-DM1=/1),即它们是正交的。同理，)=b(Z-1)。很容易推出和。的傅里叶变换是(7)=jM2S
3、liL0/44不/、-i2sin2()=ej2注意式中。实际上应为。由于Haar小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。上一章指出，Haar小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是:%)()= ,1 1,2,2jJ hi(n) = 2j(5.1.5)(5.1.6)(69) = V1网乃0其它(5.1.7)它们是最简单的两系数滤波器。2.Shannon小波、Sin加(Kt)=t由于晒k),帕k、=(0k(),k()d(5.1.8)e-j-dk-k)2j-ZT所以的a-A),%wZ构成匕中的
4、正交归一基。称为Shannon小波的尺度函数。由于垢e%,voo=v,由二尺度性质，(2t-k)cV,因此3)= Id 2其它(5.1.9)这样，对犷叱,，有(g)= a2其它(5.1.4.)于是可求出/、/SinR/2、C、(t)=()cosG加/2)E/2读者可很容易验证(t-k),(t=(k-k)(5.1.12)也即3f-Z),AZ构成WO中的正交归一基。其实，从频域可以看到，甲(M和中各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图5.1.1所示。AAf(o)一2rrl图5.1.1ShannOn小波及其尺度函数度频域波形显然，Shannon小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域
5、有着极好的定位功能。但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为SinC函数。这样，ShannOn小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中两个极端的例子。自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。以前给出了能作为小波的函数()的基本要求，即：-(，)应是带通的；由于JV(E)流=0,因此它应是振荡的；P()应满足容许条件；乎(C)还应满足稳定性条件；此外，(t)VP(C)最好都是紧支撑的。由二尺度差分方程，(。)、中(。)均和H。(、乜(M有着内在的联系。重写(4.4.14)式和(4.4.15)式，有(5.1.13)=立“。*2J)=fHo(2-
6、j)(?) =H1(2)H.(2j) 2 jJ2J=I2J=I=%32)点为(2-%)(5114)7=2这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如5.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(5.1.13)和(5.1.14)式递推求解中(M和平(的问题，并说明其中可能存在的问题。5.2由治5)递推求解阿)的方法。(4.4.4)式给出了由为(n),h15
7、)递推求解。(。和犷)的方法。即(5. 2.1a)(5. 2.1b)(t)=41E4)5)0(2,一)H=-CO(t)=41EhI(n)(2t-n)H=-CO此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(5.1.13)和(5.1.14)式给出。假定和WQ)事先是未知的，当然(5.2.1)式无法利用，这时可用(5.1.13)式或(5.1.14)式递推求解)和夕)。若令%=行O(J)J=O(5. 2. 2a)并用它来近似(0)，那么(5.2.2a)式对应的时域关系是(5. 2. 2b)%)5)=)(n)*%5)*%*T)5)式中?）=%（），%是由每两点插入一个点所得到的新序列。同理，为是将为2）每两点插
8、入22-1=3个零所得的新序列。假定%?）=%5）的长度为N,则%5）的长度为2N-1,%?）*%5）的长度为3N-2,%的长度为3N+1、,其余可类推。由此可以看出，（5.2.2）式卷积的结果将使为伽）的长度急剧增加。例如，若令%（）=争1,3,3,1,则O5%）（）=（213,1*l,0,3,0,3,0,1O21,3,6,10,12,12,10,6,3,1%5)=(当1,3,6,10,12,12,10,6,3,1*1,0,0,0,3,0,0,030,0,0,1如此，当J趋近于无穷时,%（Mil近3）,“逼近”连续函数始），但这一“逼近”，需要将接近于无限长的%5）压缩回到有限的区间内。由于
9、%（）的长度为N,我们假定。的“长度”也为N,只不过此处范围。N-1代表的是连续时间的序号。也即，。的时间持续区间是。N-1,在这一范围内应包含为）（）的所有点，压缩比等于）（）的长度/N。MATLAB中的wavefun.m文件可以实现上述的递推算法。对（5.2.1a）式，若令xf+(0 =叵 f%5)Xj(2f - )(5. 2. 3)(5. 2. 4)10=oO(53.3)OO则mk=ftk(t)dt=O,=04p-l(5.3.4)我们说小波函数少具有P阶消失矩。显然，若左=。，这即是容许条件。假定信号X为一个P7阶的多项式，即PT,x(0=Zakt(535)A=O再假定有阶消失矩，由(5
10、.3.4)式，显然.(x(t),(t)=O也即,X(t)的小波变换恒为零。若*)可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N阶,Npo那么其中阶次小于P的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于，的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。从这个角度讲，我们希望-)能具有尽量高的消失矩。消失矩越高，乎(0)在60=O处越平滑地为零，越具有好的带通性质。由(4.3.17)式dj(k)=(x(t)Wj,k(ti)正是信号XQ)的小波变换，d(女)是在尺度/时的小波系数。当我们将小波变换用于实际的信号分析和处理时，不论是从数据压缩
11、的角度，还是从去除噪声的角度以及从突出XQ)中的奇异点的角度，我们都希望小波变换后的能量集中在少数的系数，也即d(R)上。也就是说，我们希望dU)的绝大部分能为零，或尽量地小。这一方面取决于信号x)本身的特点，另一方面取决于沙)的支撑范围，再一方面即是取决于-)是否具有高的消失矩。由(5.1.14)式，平(切取决于M(M和。(。因此，+3)是否具有高的消失矩取将取决于式(。)和“。3)。我们希望甲3)在G=O(即Z=I)处具有阶重零点，这等效地要求d(z)在Z=I处有P阶重零点。由(4.5.5b)式，即Hl(Z)=ZTHO(T),这等效地要求Ho(Z)在Z=-I处有夕阶重零点。例如，若令1 T
12、HO (Z) = (匕)P0(z)(5. 3. 6)则/(Z)在Z=T处有P阶重零点。这为我们设计具有高阶消失矩的小波提供了一个切实可行的方法。下面的定理进一步明确了有关消失矩的几个相关概念。定理5.1如果甲3)在。=0处是、阶连续可微的，则下面三个说法是等效的：小波-Q)有P阶消失矩；(2) VP(O)和它的前-1阶导数在0=0处恒为零；(3) 8o()和它的前夕一1阶导数在G=乃处恒为零，即dkH.()dk0kp(5. 3. 7)证明：因为OO(6y)= (t)e-j,dt-OO所以”3) =dk()dk00-00在G = O处，有00)(0)=(-l)yJrV(Z)Jr-OO于是和等效。由(44.8)和(45.5b)式，有(2y)=H,(ty)(ty)=-e-iH+)()(5.3.8)由于W)是低通的，即(。)不等于零。对上式连续微分，可证明等效于(3)。证毕。(53.1)及(5.3.4)式有关消失矩的定义也适用于离散信号。例如，令“1(0)=2似)加n则dkH)=Z(0y4s)e-w(5.
