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1、动力学I第一章运动学部分习题参考解答13解：运动方程：y=lan,其中6=近。将运动方程对时间求导并将夕=30代入得lIk41kV=V=cos2cos232店sin。832a=y=cos”916证明：质点做曲线运动,所以=%+%,设质点的速度为八由图可知：COSe=M,所以：。二竺Vavvv2将vv=c,n=V代入上式可得a=一CP证毕1-7V2八Xv证明：因为?=,4=sin6=4.、V所以:证毕110解：设初始时,绳索AB的长度为时刻，时的长度为S,则有关系式：s=L-vt,并且s2=I2+2将上面两式对时间求导得：s=-v0,2ss=2xx由此解得：二一也(a)X(a)式可写成：xt=-
2、v05,将该式对时间求导得：xx+x1=-SV0=v(b)将式代入(b)式可得：4r=x=vx=-(负号说明滑块A的加速度向上)XX31-11解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以=？，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：vb=vcos(a)因为Vx2-/?2cos=(b)X将上式代入(a)式得到A点速度的大小为：由于UA=一尤，(C)式可写成：_&_氏2=诙,将该式两边平方可得:X2(x2-R2)=CD2R2X2将上式两边对时间求导可得:2xx(x2-R2)-2xx3=22R2xx将上式消去2后，可求得:2R4x(X2
3、-R2)2由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为2R4x(X2-R2)2113解：动点：套简A；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理匕=4+匕有：匕CoSe=匕，因为AB杆平动，所以匕=u,I2由此可得UCoSe=匕，C)C杆的角速度为。=，OA=-!-,所以3=-cs-0OAcosIav2Z/vizCCq245当e=45时，OC杆上C点速度的大小为=的=：1-15解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有%1=匕|+匕1
4、，%2=匕2+匕2由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即匕2=匕1，由上两式可得:(a)将（a）式在向在X轴投影,可得：-vclsin3Oo=-vc2sin30+vr2cos300由此解得：vr2=tan3Oo(vc2-vcl)=OMtan3Oo(ty2一例)=工;(3-9)=-OAmfsve2=OMco1=0.23%=%=&2+/=0529ms117解：动点：圆盘上的C点；动系：OA杆；定系：机座：运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于OA杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有匕=匕+匕（a）将（a）式在垂直于OIA杆的轴上投影以及在OC轴上投影得:Uacos300
5、=vccos30o,vasin3Oo=UCsin30ve=va=R,va=vr=RCo,=根据加速度合成定理有=0：+ar+c(b)将(b)式在垂直于OiA杆的轴上投影得-aasin30=。：cos3Oo+a：sin300-ac其中：aa=Rco1,a；=2R(d；,ac=2y1vr由上式解得：4=&=且口22R121-19解：由于ABM弯杆平移，所以有vA=vMa=aM取：动点：套筒M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理Ua=Ue+匕可求得：vyw=v=va=V2vc=y2b=2V2ms,vr=vc=b=2nVs
6、,=U=迪=迪rad/sOlA1.53根据加速度合成定理+其中：ve=OM=7r=2recos600根据速度合成定理：可以得到:=tanvcSin60”cos260ocos600=4rd;ac- OM2=fIrco2,加速度如图所示，其中:2r一cos60ac=2vr=Sr2根据加速度合成定理:=ac+，+aC将上式在X轴上投影，可得：QaCoSe=-&COS。+%由此求得：Qa=14rC921-21解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Oxy）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕
7、O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理V=V,i+Vt.dC1将上式沿绝对速度方向投影可得:匕=fe+匕因此Vr=Ve+Va其中：%=%，Ve=Rb，3=，RA,LbrRB380,由此可得：Vr=-v+Vb=nVsRa9求相对加速度，由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值，因此有：a=-l-=1.78ms22-1解：当摩擦系数/足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力尸JFn取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：0=m2匕将其在X轴上投影可得：px=m2vt=m2bt根据动量定理有：也=m,b=FfFN=f(m+m,)gdt/77h即：当摩擦系数=时，平台AB的加速度为零。(叫
8、+m1)g当摩擦系数/他时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为:(叫十%)gp=m2(y+vr)+wlv将上式在%轴投影有：px=/W2(-V+vr)+wl(-v)=m2bt-(aw1+n2)v根据动量定理有：曳L=m2。一(叫+rn2)a=F=fFN=/(w1+zn2)dr由此解得平台的加速度为：a=Jg(方向向左)mxm22-2取弹簧未变形时滑块A的位置为X坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：p=Hiv1v1=/WV+m(v+vr)将上式在X轴投影：px=nix+nl(x+lcos)根据动量定理有：=(m+ml)x-mj2Sin。=-
9、F=-kx系统的运动微分方程为：(/+w1)x+kx=tnyl2sinyr2-4取提起部分为研究对象，受力如图所示，提起部分的质量为机二20,提起部分的速度为U，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为匕，方向向下，大小为口(如图a所示)。(b)根据变质量质点动力学方程有：dv一、dm、.、in=r(r)+mg+v=F(t)(PVf)g+vpvd/dr将上式在y轴上投影有：dv、2tn=F(t)-(pvt)g-vrpv=F(t)-p(ygt+v)dr由于包=0,所以由上式可求得：F(0=p(v+v2)od/再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此
10、地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：Fn=(l-vt)pg3-5将船视为变质量质点，取其为研究对象，应用分离变量法可求得受力如图。根据变质量质点动力学方程有：dv厂d/nm=F+mg+V+Fvdrdr船的质量为：2=-4，水的阻力为尸=-力将其代入上式可得：/、dy上L(小0-qt)-jv+mg-qvx+FNd/将上式在X轴投影：(m0-qt)-=-fv-q(-v)。d/fln(vr-)=-l(w0-qt)+cq由初始条件确定积分常数C=ln(45)-/Inm0,并代入上式可得:q2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴Z转动，板对转轴的转动惯量为J,质量为，的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方
11、板的速度大小为(常量)。圆盘中心到转轴的距离为质点在方板上的位置由确定。初始时，夕=0,方板的角速度为零，求方板的角速度与。角的关系。解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴Z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为乙，其角速度为G,于是有L1=Jco设质点M对转轴的动量矩为右，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为匕,匕。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度匕=%+匕。它对转轴的动量矩为L2=L2(tnvii)=L2(mvJ+L2(mvr)其中：L1(m
12、vc)=mr=m(l+RCOSe)?+(Rsin)2L2(mvr)=m(l+RCoSe)匕CoS+/Hsin?人系统对Z轴的动量矩为4=Zn+%。初始时，69=0,=0,Vr=U,此时系统对Z轴的动量矩为Lo=m(l+R)u当系统运动到图872位置时，系统对Z轴的动量矩为L=J-/?(/+RCOSe)2+(RSinof+m(l+RCoSe)“cose+Rsin?u=J+(2+R2+2lRcos)m+(lcos+R)mu由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有人,二%,因此可得：tn(l+R)U=J+(2+R2+2lRcos)m+(/cos+R)ntu由上式可计算出方板的角速度为mlQ-cosWCO-zzJm(l2+R+21RCoS)2-11取链条和圆盘为研究对象，受力如图(链条重力未画)，设圆盘的角速度为。，则系统对0轴的动量矩为：L0=J0+plQa+r)r2根据动量矩定理有：=Jo+PiQa+加,)dr=q(+x)gr-pl(a-x)gr整理上式可得：Jo+Pi(2。+r)r2=pl(2x)gr由运动学关系可知：cor=x,因此有：cbr=Xo上式可表示成：IJ0+PiQa+)r2x=2plgr2x令=也”上述微分方程可表示成：x-22x=0,该方程的通解为：Jo+PlQa+r)rX=ciet+c2e
