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1、非线性方程组解法材料非线性几何非线性边界非线性 以上三类问题的有限元问题都将得到待解的非线性方程组。非线性方程组一般都采用线性化方法。PUK)(PUUK一般线弹性有限元的总体刚度矩阵为K是一个常数矩阵，上述方程是一个线性方程组。一般非线弹性或弹塑性有限元的总体刚度矩阵为K(U)不是一个常数矩阵，上述方程组成为非线性方程组。0)()()(PuRPUuKuF可记为简例 材料非线性图示简单拉伸问题中如果，本构方程是非线性弹性的)1.01()()(EDDFuukFuuLLEA1111)()1.01(设杆端位移为u1，则这里我们得到的是非线性方程。非线性方程解法 迭代法（总载荷法）NewtonRaphs
2、on法（切线法）修正NewtonRaphson法（初始切线法）拟NewtonRaphson法(割线法）增量法（逐步法）EulerCauchy法 混合法(逐步迭代法）EulerNewton法迭代法（总载荷法）NewtonRaphson法（切线法）在Un处展开，并用un表示Un0)()()()()()()()()()(TnnnnnnnUUKPRUUURPRUUUFFFnnuuuuuuuuuuu设nnnUUUUU1nnnnnnUUURPKU)()(11Tuu则得到逐步迭代就可得到解。求解的几何意义在一维的情况下是明确的，K(u)T表示该处的切线，F-R(un)称为不平衡力，不平衡力逐步减小表示解是收
3、敛的，反之，解不收敛。Puiui+1ui+2R(ui)K(ui)nU 本方法每步均需求切线的刚度矩阵，计算量大，收敛速度快。如果每次都使用初始刚度矩阵，则称为修正NewtonRaphson法（初始切线法）。计算量小，但速度慢。nnnnnUUURPKU)()(11T0uuPuiui+1ui+2R(ui)K(u0)nU增量法（逐步法）用载荷增量进行线性化处理。Euler-Cauchy法如图所示，采用下式步骤进行求解:：nnnnnnnPPUUUPKU)(11TuPuiui+1ui+2PiK(ui)nUPi+1 在每一增量步中都按线性弹性问题求解，虽然也将物体变得刚硬一些，会出现“漂移”，但当载荷增量
4、取得甚小时，分段的线性解就接近非线性解。Puiui+1ui+2PiK(ui)nUPi+1混合法（逐步迭代法）用混合使用增量法和迭代法求解。一般采用在一个增量步中采用迭代方法。Euler-Newton法 如用Pi，Pi+1表示第i步和第i+1步P的初值和终值，Ui，Ui+1表示第i步和第i+1步U的初值和终值，在该增量步中采用下式迭代nininininniniiiUUUuRPKUUU1111111T1101)()(unininininniniiiUUUuRPKUUU1111111T1101)()(uPi+1PiKi0+101iu211101iiiuuu迭代收敛判据 在使用迭代法和混合法时，必须给
5、出收敛判据，否则无法中止迭代。当判据给得不恰当时，就不太精确或计算时间过长，甚至计算失败。常用判据：位移判据2/1122/112|miniminiUU其中i为结点序号，m为结点总数，收敛判据容差，可取%5%1.0 当材料硬化严重时，位移增量的微小变化，将引起失衡力的很大的偏差，或两次迭代得到的位移增量跳动较大时，可能将本来收敛的问题判断为不收敛，此时不能用该判据。失衡力判据 2/1122/112|)(|miiminipRPu其中i为结点序号，m为结点总数，收敛判据容差，可取%5%1.0 当材料软化严重时，或材料接近理想塑性时，失衡力的微小变化，将引起位移增量的很大的偏差，可能将本来收敛的问题判断为不收敛，此时不能用该判据。能量判据2/11212/112|)(|)(|miiTminiTnRPURPUuu 同时控制位移增量和失衡力，因此是比较好的判据。它将每次迭代后的内能失衡力在位移上所作的功与初始内能增量相比，即
