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1、第四章椭圆型方程的有限差分法1 1 差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念2 2 一维差分格式一维差分格式3 3 矩形网的差分格式矩形网的差分格式4 4 三角网的差分格式三角网的差分格式5 5 极值原理极值原理为为给给定定常常数数。上上的的连连续续函函数数为为其其中中边边值值问问题题考考虑虑二二阶阶常常微微分分方方程程的的 ,;0,)2.1()(,)()1.1(,22 qbafqbuaubxafqudxudLu1 1差分逼近的基本概念差分逼近的基本概念区间的剖分剖分为为步步长长。称称，间间距距称称为为网网格格结结点点（节节点点）网网格格剖剖分分，的的一一个个于于是是我我们们得得到到区区间间等等分
2、分，分分点点为为分分成成将将区区间间hxbaINabhNiihaxnbajj,./)(,2,1,0,1 1 区间的剖分区间的剖分点点取取值值。表表示示括括号号内内函函数数其其中中展展式式可可得得，由由的的解解光光滑滑离离散散化化，为为此此，对对充充分分在在节节点点现现在在将将方方程程iiiiiiixhodxxuhhdxxudhxuxuxuTaylorux)3.1(),()(12)()()(2)()1.1(322222211 1 1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）)5.1(),()(12)()4.1(),()()()()()(2)()1.1(3222211hodxxuhhuRuR
3、xfxuxqhxuxuxuiiiiiiii 其其中中写写成成于于是是在在可可将将方方程程 断断误误差差。的的截截为为差差分分方方程程称称式式中中的的差差分分方方程程：则则得得逼逼近近方方程程，去去的的二二阶阶无无穷穷小小量量。若若舍舍是是足足够够小小，当当)6.1()().(),()6.1(,2)1.1()()(211uRxffxqqfuqhuuuuLuRhuRhiiiiiiiiiiiihii ).(0)6.1()()7.1()()(2hhLLuRLuxuLuRhiiihi的的阶阶为为式式关关于于起起的的截截断断误误差差，所所引引代代替替微微分分算算子子是是用用差差分分算算子子所所以以截截断断
4、误误差差 式式。此此格格式式称称为为中中心心差差分分格格。的的差差分分方方程程或或差差分分格格式式为为逼逼近近的的近近似似。称称于于是是它它的的解解方方程程组组：就就得得到到关关于于的的线线性性代代数数时时成成立立，加加上上边边值值条条件件当当差差分分方方程程)2.1()1.1()9.1(),8.1()()9.1(.,)8.1(,1,2,1,2,1,2,1)6.1(0211iiNiiiiiiihxxxuuuuNifuqhuuuuLNi .1,)8.1(:121阶阶方方程程组组因因此此它它是是个个数数的的的的个个数数等等于于网网格格内内点点方方程程注注意意 NxxxN )13.1(,)()12.
5、1(,)11.1(,)10.1(,max.)(),112121202111220110121 NiiihhhhNiihiNichhhhiihhhNNhhuuhuuuuhuuuuIIIuxuIIbxaxIxxxI于于是是上上的的网网函函数数引引进进范范数数我我们们对对上上的的网网函函数数（相相应应的的称称为为数数上上的的函函（相相应应的的的的集集合合。定定义义在在和和界界点点表表示示网网格格内内点点的的集集合合，表表示示网网格格内内点点以以定义定义1.11.1.)14.1()14.1(,0)(lim)7.1()(条条件件为为相相容容，而而称称逼逼近近微微分分算算子子则则说说差差分分算算子子，恒恒
6、有有任任何何定定义义的的网网格格函函数数，若若对对是是由由截截断断误误差差，是是某某一一充充分分光光滑滑函函数数类类设设LLuRuRhhh ).()(),()(),()(:)6.1()5.1(1202houRhouRhouRhhch 阶阶是是的的逼逼近近微微分分算算子子，且且逼逼近近便便知知，差差分分算算子子由由定义定义1.21.2网网函函数数。看看成成这这里里有有存存在在，且且按按某某一一范范数数的的解解充充分分时时，如如果果当当收收敛敛到到边边值值问问题题的的解解称称差差分分解解hhhhhIuuuuhuu)15.1(.0lim)9.1(),8.1(0 )()(2)()()()()()()(
7、2)()()4.1(211211uRuxuLfuqhuuuuLuRfuRxfxuxqhxuxuxuxuLiiihiiiiiiihiiiiiiiiiih 相相减减，得得与与写写成成可可将将方方程程.)()16.1(,1,2,10)()(,)(0的的问问题题误误差差函函数数（截截断断误误差差）估估计计就就归归结结带带通通过过右右端端的的估估计计问问题题。于于是是收收敛敛性性及及收收敛敛速速度度满满足足下下列列差差分分方方程程；则则误误差差函函数数引引进进误误差差hiNiihiihiiieuRNieeuReLexeuxue 定义定义1.31.3.1,2,1,)()17.1(,0,)(0),1,2,1
8、(000 NivxvffhhfMvhMfxffIvvNifvLiihhRhRhhiihhhNiih也也可可以以不不同同，相相同同，的的某某一一范范数数，它它可可以以和和是是右右端端其其中中当当，使使和和无无关关的的正正常常数数及及右右端端在在与与网网格格关关于于右右端端稳稳定定，如如果果存存称称差差分分方方程程。变变化化小小时时解解的的变变化化也也小小，即即右右端端连连续续依依赖赖右右端端表表明明，解解不不等等式式hhfv)17.1(定理定理1.11.1（相容（相容+稳定稳定=收敛）收敛）.)(相相同同的的收收敛敛阶阶有有和和且且收收敛敛到到边边值值问问题题的的解解，按按则则差差分分解解右右端
9、端稳稳定定，满满足足相相容容条条件件，且且关关于于按按充充分分光光滑滑，差差分分方方程程若若边边值值问问题题的的解解RhhRuRuu 程程解解的的先先验验估估计计。差差分分方方的的估估计计式式，称称之之为为关关于于定定性性，即即建建立立形形如如式式的的稳稳主主要要任任务务去去建建立立差差分分格格误误差差的的阶阶。因因此此我我们们的的条条件件，并并且且估估计计了了截截断断展展式式证证明明它它都都满满足足相相容容用用。我我们们曾曾检检验验相相容容条条件件并并不不困困难难立立差差分分方方程程的的稳稳定定性性。件件和和建建性性，就就需需要要检检验验相相容容条条为为了了建建立立差差分分解解的的收收敛敛)
10、17.1(Taylor2 2 一维差分格式一维差分格式为为给给定定常常数数。其其中中考考虑虑两两点点边边值值问问题题：,0)(,)2.2()(,)()1.2(,)(min1baCfqrpxpbaCpbuaubxafqudxdurdxdupdxdLu 差差分分法法。法法和和变变分分直直接接差差分分法法、积积分分插插值值三三种种方方法法：我我们们将将介介绍绍差差分分格格式式的的 2.12.1直接差分化直接差分化.,max,.,2,1,:,101211110的的集集合合表表示示内内点点和和界界点点的的集集合合表表示示网网格格内内点点为为最最大大网网格格步步长长。用用称称的的一一个个网网格格剖剖分分，
11、记记于于是是得得到到区区间间个个小小区区间间：分分成成将将区区间间个个节节点点：首首先先取取bxaxIxxxIhhxxhINixxxINbaIbxxxxaNNhNhiiiiiiiiNi 剖剖分分节节点点。”号号的的是是对对偶偶打打“”号号的的是是原原剖剖分分节节点点，中中打打“对对偶偶剖剖分分。图图的的一一个个网网格格剖剖分分，称称为为又又作作成成点点称称为为半半整整数数点点，则则由由节节，的的中中点点取取相相邻邻节节点点 1,),2,1)(21,2121232101211babxxxxxxaNixxxxxNNiiiiiiabix1 ix1 ix21 ix21 ix图1点点取取值值。表表示示括
12、括号号内内函函数数其其中中展展式式可可得得，由由为为此此，对对充充分分光光滑滑的的解解离离散散化化，在在节节点点方方程程其其次次用用差差商商代代替替微微商商将将iiiiiiiiiiixhodxudhhdxduhhxuxuTaylorux)3.2(),(2)()()1.2(2221111 )4.2(),(24),(24)()()(33322132133221121hodxudphdxduphodxudphdxduphxuxuxpiiiiiiiiii )5.2(),(24)()()(33312211121hodxudphdxduphxuxuxpiiiiiii )6.2(),()12)(4)(),(
13、12)(2)()()()()()(22)4.2()5.2(2331221233121211121112111hodxudphhdxdupdxdhhdxdupdxdhodxudphhdxdupdxduphhhxuxuxphxuxuxphhhhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ，得得，并并除除以以减减由由)7.2()()()()()()()()()()(2)()(,)6.2(),3.2(),(),(),(),(111121112112121uRfxuqxuxuhhrhxuxuxphxuxuxphhxuLxuxffxqqxrrxppiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihiii
14、iiiii 满满足足方方程程：边边值值问问题题的的解解知知则则由由令令的的差差分分方方程程。题题便便得得逼逼近近边边值值问问的的截截断断误误差差，舍舍去去为为差差分分算算子子其其中中)2.2(),1.2()()8.2(),(21121)(41)()(22233221uRLhodxudrdxudpdxdupdxdhhuRihiiiiii )10.2(,1,1)9.2(2011112111211 NiiiiiiiiiiiiiiiiiiihuuNifuquuhhrhuuphuuphhuL2.2 2.2 积分插值法积分插值法恒恒律律具具有有形形式式上上的的热热量量守守内内任任一一小小区区间间程程，则则
15、在在方方一一根根杆杆上上的的稳稳定定温温度度场场如如果果把把它它看看作作是是分分布布在在考考虑虑守守恒恒型型微微分分方方程程：,)13.2().()()()2()1(xxbaxfuxqdxdupdxdLu )15.2()()()14.2(,)()(,)()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1()2()1(dxduxpxWfdxqudxxWxWfdxqudxdxdxdupdxdxxxxxxxxxx 其其中中或或 ,)()(,)()()15.2(,)()15.2()()14.2(,)()(,)14.2(1212121211121212121)2()1(iiiiiixxiiiix
16、xxxiiiidxxpxWuuxxxpxWdxduxWxpfdxqudxxWxWxxxx积积分分，得得在在沿沿改改写写成成故故将将恒恒连连续续流流量量”化化是是不不合合适适的的。但但“热热进进一一步步差差分分允允许许有有间间断断点点，由由考考虑虑到到则则对对偶偶单单元元取取特特别别于于考考虑虑守守恒恒型型微微分分方方程程：)18.2(,2)17.2(.)(1)16.2(,1112121211iiiixxxxiiiiiiiudhhqudxxpdxhahuuaWiiii 又又利利用用中中矩矩形形公公式式，得得)21.2(.)(2)20.2(,)(21,)(21)14.2()18.2(),16.2(21211111111 iixxiiiiiiiiiiiiiiiiiidxxfhhhhudhhhuuahuua ，即即得得守守恒恒型型差差分分方方程程代代到到将将 )22.2(),(),(),()21.2()19.2(),17.2(,2121 iiiiiiiiixffxqqdxppafqp，从从而而和和计计算算式式光光滑滑，则则可可用用中中矩矩形形公公系系数数及及右右端端如如果果)23.2(),(2
