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1、不动点与组合问题不对号入座与全错位排列一、问题把n个编号为1,2,3,(让2)的球放入n个编号为1,2,3,52)的盒子中，要求每个盒子中只放一个球，且球的号码与盒子的编号数均不相同，试求有多少种不同的放法种数？这个问题就相当于n个自然数的全错位排列问题.不妨设这种不同的放法种数有。”种，它可以分两步完成：第一步放编号为1的球，共有-1种放法，此时不妨把编号为1的球放在编号为小工1)的盒子里，再安排第i号球的位置，有两种情况：第i号球放在第1个盒子中，剩余的-2个球要放在-2个盒子中，依然要求是号码均不相同，故。i种放法；第i号球不放在第1个盒子中此时如同-1个球要放在-1个盒子中目号码均不相
2、同，故有方法数为。“一种.所以，一般地，我们得到递推公式=(z2-1)(-2-i)(3),其中4=0,%=L利用这个公式，我们可以解决这类错位排列问题.二、探求通项公式由递推公式及4=0，%=1吗=2,可得：g-(TMT=(-1尸3-3)=(T)I=(-1)”，上式两边同乘以!得：殳_u-=1121n(-1)!于是可得：%k(T产(w-l)!(w-2)!(-)！，%二(TP4!-3!4!,a3q2(-1)33!2!3!%_(-D22!7T-2!将上述-1个式子累加，得：%6(-1)(-1,上JT)4,(TV(-I)?n1!n(w-l)!4!3!2!所以生=+LL+出，故q=/+LL+3/!1!
3、2!3!！1!2!3!加评注由递推公式得到递推公式是求解的关键,这也是处理复杂递推数列问题的难点所在.例1同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有()A.6种.B.9种.C.11种.D.23种.分析此题是全错位排列问题，我们可以应用公式来进行解题.解析由递推公式及/=1M=2,可得%=3(+2=3(l+2)=9故选B.例2五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有()种.A.6B.10C.12D.20分析此题也是错位重排但不是全部错位，我们可以部分应用错位重排来进行解题.解析分步进行：第一步，选出三个瓶子，这三个瓶子恰
4、好贴错了，有C；=10种；第二步，这三个瓶子满足错位重排所以对应的公式数据应该是2.最后根据乘法原理,共有10x2=20种.故选D.例3某人给6个不同的人写了6封信，每人一份，并准备了6个写有收信人地址的信封，问有多少种投放信笺的方法，使得每份信笺和信封上的收信人都不相同？分析：此题是全错位排列问题，我们可以应用公式来进行解题.解析由递推公式及生=1,%=2,可得：。4=3(4+%)=3(1+2)=9,%=4(6+q)=4(2+9)=44,6=5(4+4)=5(9+44)=265.故共有265种投放信笺的方法,使得每份信翔口信封上的收信人都不相同.三、问题的推论与探究引理用A()表示n个不同元
5、素全错位排列的方法数,则n个不同元素全错位排列的方法数满足A()=AeT)+(T)52).(1)下面用第二数学归纳法给出引理的一般性证明.证明(1)易知当=2时,A(2)=1,A(3)=2,满足A=3A+(-N=2,式(1)成立;当=3时，A=2,A(4)=9,满足4)=4沟3)+(-1)4=9,式(1)成立(2)假设A(Z3)时，式(1)成立，即k个元素片,出吗，4全错位排列的方法数的递推关系为A(R)=hA(l)+(T,贝U当=攵+1时,设全错位排列的元素为4，%,%，441.在k个元素，4全错位排列的基础上，攵+1个元素全错位排列后，它们全错位排列的方法分为2类：1与q(i=l,2,互调
6、位置，其余元素全错位排列，方法数为kA(%T);1在q(i=L2,/)的位置上，但4不在心的位置上，其余元素仍然错位排列.这样的排列，相当于将k个元素%心,%，%的每一个全错位排列中的元素置换了一遍k个元素。%，%的每一个全错位排列是k个元素，因此该类全错位fl例的方法数为&A（八）.综上所述，A(k+l)=hA(k)+A(k-l),又A（八）=ZA(A7)+(T)故A(Z+1)=ZA(4)+女A(4-l)=ZA(Z)+A(k)-(-iy=(k+l)A(Z)+(-iyz.即当“=A+1时，式(1)成立.因此,n个元素全错位排列的方法数的递推关系为4()=nA(n-1)+(l),(n2).定理用
7、A()表示n个不同元素所有的全错位排列的方法数，则当=1时，A(I)=O;当2时，v72!3!4!(-1)!nv7vfn个不同元素排成一列，记下每个元素的编号，重新排列后，有以下结论：推论1某i个元素(特定)现在的编号与原编号一致，-，个元素现在的编号与原编号错位的排列方法数为推论2i个元素(不特定)现在的编号与原编号一致，-，个元素现在的编号与原编号错位的排列方法数为CA(-i)推论3某i个元素(特定)在原有的位置上互相全错位，另，7T个元素在原有的位置上互相全错位，这样的排列数为推论4i个元素(不特定)在原有的位置上互相全错位，另-i个元素在原有的位置上互相全错位,这样的排列数为CA(i)
8、A(T)例I同寝室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同的分配方式有种.解该题属于4个元素的全错位问题.由定理得A(4)=43-4+1=9,故分配方式有9种.例2设编号为1,2,3,4,5的5个球及编号为1,2,3,4,5的5个盒子，一个盒子内放一球，恰有2个球的编号与盒子编号相同，则投放种数有多少？解“恰有2个球的编号与盒子编号相同”等价于“恰有3个球的编号与盒子编号不同”.由推论2得，投放种数为C1A(3)=10(37)=20例3编号为1,2,3,4,5的5个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多2个号码一致的坐法有多少种？解法1(直
9、接法)至多2个号码一致，分3种情况：(1)“恰2个一致”等价于“恰3个错位，乂=CA(3)=20;(2)“恰1个一致”等价于“恰4个错位，M=屐A(4)=45;(3)没有一致”等价于“5个全错位“，M=A(5)=44.从而N=N+m+m=109.解法2(间接法)无任何限制条件时，M=120.“恰有3个号码一致”等价于“恰有2个错位N=A(2)=10:怡有4个号码一致”与“恰有5个号码一致”的坐法属同一种情况，故M=1.从而N=M-M-N2=120-10-1=109.例4有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重:“立定跳远”、“肺活量:“握力”、“台阶”5个项目的测试，每位同学上、下午各测试
10、一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项日，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有多少种？解4位同学上午测试“身高与体重”、“立定佻远”、“肺活量:”台阶”4个项目的方法数为4：=24种.下午测试的方法分为2类：(1)4位同学测试的项目仍然是上午的4个项目，方法数是4个元素的全错位H例数，只需将每一个全错位排列中的“握力”项目替换为“台阶”，方法数为A(4)=9;(2)若测“台阶”的同学冈财测“握力”项目，贝历法数为A(3)=2.故下午测试的方法数共有9+2=11种.从而上、下午不同的安排方式共有24(9+2)=264种.第二节组合不动点组合不动点问题的反面提
11、法是“扰排问题定义：设集合仍(I)I/，/()是集合123,的一个排列，若/=攵化=1,2,3,)，则称k为变换F的一个组合不动点，我们用(Z)表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，（八）表示有k个动点的排列个数显然有，?=力(-A)例6)=1.定理1(Z)=UzlG-A).证明：所有G（八）的排列数问题可分二步思考.首先，从11个元素中选出k个元素排在k个位置上，使每个元素的编号与它所在位置的号码一致(不动)，共有C种不同的排法，其次,将其余-攵个元素排在-攵是个位置上使每个元素的编号与它所在位置的号码不一致(全动)，有44(A)种排法，由乘法原理,故原命题得证.定理2/候)=CZk（八）
12、.证明：，(女)=由5-%)=。；/-5-k)=c（八）定理”()=!(T)*%=0H-证明：考虑第k号元素正好放在第k号位置上，显然，其余-1个元素放在-1个位置上的所有排列数4为(-1)!,且和式Z4共有C：项，所以4=(”1)!1lkn而A一汽的排列数为(-2)!z和式.4c4共有C：项.12IT所以4+4=，；(_2)!同理，4C4c.c4的排列数为(-加！，和式4c4Cc4共有1j.xv?C：项.所以4C4C.c4=C：S-勿)！ly.an显然，4c4c.c4=1,且n个元素的全排列为!.由容斥原理有：f()=J4+4c4一1XV149+(-i)Z4c4cc4+(-1)”4c%c.c
13、4lim.mn=!一CXn-1)!+C：5-2)!-+(一1尸禽(一加!+(-1)=后(川十=O定理4.（八）=力4(n)=nJt-O-0证明：因为n个元素的全排列个数为!.另一方面考虑可分成恰好零个组合不动点，恰好一个组合不动点，恰好两个组合不动点，恰好n个组合不动点，由加法原理有：G(O)+%(l)+/(2)+%()=/(&)=！，类似地可得到(2)=！A=OA=O定理5.从编号为123,的n个元素，取出k个(1左)元素排在编号为123,次的位置上(每一个位置只允许排一个元素)，有k个动点的排列个数为：心（八）=MY肥+C比嚏-C嘿+(T)P*Z(Tync.m=0当=k时，即定理3.故定理
14、5可视为定理3的推广.例1.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子.现将这五个球投入这五个盒子内，要求每个盒子投放一个球，求以下几种情况的投放方法数.恰好有两个球的编号与盒子编号相同；恰好没有两个球的编号与盒子编号相同；至多有两个球的编号与盒子编号相同；至少有两个球的编号与盒子编号相同.解：M=佻(2)=CV(3)=20=103!l-+-I1!2!3!=八(2)=。(2)=10、2!(1-t+/卜10Ns=例(O)+BI)+S5(2)=C?(5)+C%(4)+C= 5!1- + -1! 2! 3! 4! 5!+0+5x4!+1! 2! 3! 4!+ 103! ITi+)=44+45+20=109M=侬(2)+83(3)+85(4)+侬(5)=C0(3)+V(2)+G0(1)+1=20+10+0l=31或N4=5!-q(0)+弘(l)=120-(44+45)=31.例2.同室4人各写1弓长贺年卡，先集中起来,然后每人从中拿I张别人送出的贺年卡，问：4张贺年卡有多少种不同的分配方法.解：本题即求四个元素的无不动点排列个数.(4)=4!l-l
