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1、第十漳圆锥曲线第一节椭圆/V21. （2023全国甲卷理科12）已知椭圆一+乙=1,6,居为两个焦点，。为原点，P为椭963圆上一点，COfiZFlPF2=t则|。Pl=（）A.-B.叵C.-D.叵5252【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设NKPB=26,oeCoSN 片 PK=COS 26 =cos2 -sin2 cos2 +sin2 c=2,所以IP耳+|质=|耳图2=42=16,又PK+P玛I=2=24,平方得:|防十|帆+2归国户周二16+2归用归闾=20,所以仍用斤8|=2.故选B.3（2023新高考I卷5”殳椭圆Cl：J+a/=l(al),C2Iy+/=1的离心率分别为q
2、,0.若2=&1,则。=（）B.2C.3D.6【解析】,=囱二1,e,=B,由&2=及1可得3=j?a22故选A.4.（2023新高考II卷5）已知椭圆U1+y2=i的左、右焦点分别为耳,鸟，直线y=x+z与C交于A8两点，若耳AB的面积是AgAB面积的2倍，则加二（）aICT【解析】设AB与X轴相交于点。（一机,0）,由Sj=2S尸加，得第=2r2D又衍周=2,所以Ko二手，则有应YTzZ）二手，解得根=一#.故选c.第二节双曲线1.（2023新高考I卷16）已知双曲线C：0-方=IgO,/?0）的左、右焦点分别为耳，鸟，2点A在C上，点B在y轴上，FlAFlB,F2A=-F2Bt则C的离心
3、率为【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设6（-c,0）,E（C,0）,8（0,）,2(52 1由64 = _568可得413。,_5(g 2 、又64 _LEB 且 EA = 。,一彳(82、82则646从二(c,)=,C2-5“2=0,所以“2=402,又点A在C上，则置 a24 2n9b225c2 42,整理可得色丁一丝 = l,9/9/75 c2 16r2代入=402,可得与一当_ = 9c b即25/-若=9,解得，或心（舍）.352 |居川2 解法二：由序4 =可得扇=，设IgAI = 2x,B =3x,由对称性可得，忻8=3x,由定义可得，IAEl=2x+2z,A8=5
4、x,3Y342x+2.设/耳4居二夕，则Sine=3=3,所以CoSe=、=,解得X=。，5x555x所以IAEl=2x+2q=4q,IgAI=2x=2,在ZkAfJE,中，由余弦定理可得CoSe=I6+4_=,9a2=5c2,6a252.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线a2 b2= l（a0,b0）的离心率为小,其中一条渐近线与圆（x2p+（y-3）2=l交于A,8两点，则MM=（）、1C小C2后C4小A.B.C.D5555【解析】由e=卮则号=伫=1+4=5,解得2=2.aCraa/22-35所以双曲线的一条渐近线为y=2xf则圆心（2,3）到渐近线的距离d=L7=I=二一22+l5所
5、以弦长 IABl = 2r2-d2 =.故选D.3 .（2023全国甲卷文科9）已知双曲线，一S=l（00,b0）的离心率为正，其中一条渐近线与圆(x-2p+(y-3)2=l交于AB两点，则IAM=()4 1525c4后A.B.CD5555【解析】由e=6,则W=1+2=5,解得2=2.aaera所以双曲线的一条渐近线为y = 2xf则圆心（2,3）到渐近线的距离d=%T=y所以弦长 AB = 2r2 -d2 =.故选D.4.（2023北京卷12）巳知双曲线。的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为,则C的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【解
6、析】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为。力，显然双曲线C的中心为原点，焦点在X轴上，其半焦距c=2,由双曲线C的离心率为得J,解得a=&,则b=F工T=a22所以双曲线C的方程为-匕=1.2222故答案为：-=1.22225.（2023天津卷9）双曲线二一与（4O,Z,O）的左、右焦点分别为再，居.过居作其中一a-b1条渐近线的垂线，垂足为P.已知月6=2,直线尸耳的斜率为立，则双曲线的方程为（）44 2匕 2- -X2一 8X2- 4A.Cr84- -X2- 42X - 2B.D.Cbb.【分析】先由点到直线的距离公式求出b,设/POF2=e,由tan夕=西=Z得到|。耳=。,O居I=C.再
7、由三角形的面积公式得到y0，从而得到修,则可得到一J=也，解出。，a+24代入双曲线的方程即可得到答案.【解析】如图所示,因为鸟（c,0）,不妨设渐近线方程为y=2jc,即加一=0,a所以IP用=Bd4=b,所以b=2.Ja2+b2C设 ZPOF2=Ot则3皿=需=向= 所以OP = 1 Ly2因为Iab=IC%,所以M，=吆，所以tan=上=2，所以XP=幺，2 2Cidn*-C人P人P“所以Pl,I,ah,-/八,cab2aa2因为K(-c,0),所以即6=母一=y=27=7=,aa+ca+a+4a+24一+c所以J（+2）=4,解得a=&,所以双曲线的方程为=故选D.第三节抛物线1 .（
8、2023天津卷12）过原点的一条直线与圆U（x+2+y2=3相切，交曲线i=2p（p0）于点尸，若IOPI=8,则的值为.【分析】根据圆（x+2Y+y2=3和曲线丁=2力关于X轴对称，不妨设切线方程为y=h,Z0,即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位道关系解出.【解析】易知圆（x+2y+y2=3和曲线f=2p关于X轴对称，不妨设切线方程为y=H,2kk0,所以一zLJl+ =3 ,解得：)l = 3 ,由 P： V 解得:y =2PXy=。或2p32岛3所以IoPl =攵=8,解得：P = 6. 3当Z=-6时，同理可得.故答案为6.2 .（2023全国乙卷理科13,文科13）已知点A
9、0,6）在抛物线C:丁=2p上，则A到C的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为X=-,最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.4【解析】由题意可得：(褥f=2pxl,则2p=5,抛物线的方程为y2=5,准线方程为x=9,点A到。的准线的距离为1-1-3=2.4I4)49故答案为：43.(2023新高考H卷10)设O为坐标原点，直线y=-3(x-l)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，且与C交于N两点，/为C的准线，则()QA.p=2B.MN=C.以MN为直径的圆与/相切D.ZXQMN为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为
10、尸(1,0),所以=1,P=2,A正确；y=-y3(x-)联立,消)得3/-IOX+3=0.y=4x设M(XQJ,N(w,y2),由韦达定理得为+/=与，所以IMNI=IM日+1NFI=M+电+=4,B错误；设MN的中点为。，分别过M,M。向/作垂线，垂足分别为f,Nj,Q,由梯形中位线性质及抛物线定义可得，IQQJ=T(IMMI+MVj)=g(V+NF)=gMM=r,所以以MN为直径的圆与准线/相切，C正确；从而M由上述解题过程知，3x21Ox3=0,解得XI=/=3,易得IoMKQMWIMM，zMN不是等腰三角形，D错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系21.(2023全国乙
11、卷理科11,文科12)已知AB是双曲线-1=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(l,l)B.(-l,2)C.(l,3)D.(-l,-4)【分析】设直线AB的斜率为阳,QM的斜率为2,根据点差法分析可得k-k=9f对于A,B,D通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C:结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设A(XQJ,B(x2,j2),则AB的中点仞(幺芦_,且/)1+%设直线AB的斜率为原8,OM的斜率为A,可得以8=2Lz&，2=2X-X2+r2X1+X22因为AB在双曲线上，则= =2X 一 9A9- -2x ，芍,两式相减得:一)-五二方所以kAB k =9.对于选项A：可得Z=l,kAB=9,则4B:y=9x8,y=9x-8消去 y 得 72x2-272x+73 = 0,联立方程,y2Xi-=jj=(-272)2-47273=-288,=2x2联立方程乙、消去)，得45f+
