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1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式P：=加从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(tn-n)!C：=-从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n(m-n)(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，那么这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由Di种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，那么这件事可由mXn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果
2、一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,那么称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)根本领件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为根本领件，用0来表示。根本领件的全体，称为试验的样本空间，用C表示。一个事件就是由中的局部点(根本领件)组成的集合。通常用大写字母/1,B,G表示事件，它们是C的子集。Q为必然事件，。为不可能事件。不可
3、能事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成局部也是事件8的组成局部，(力发生必有事件H发生)：AUB如果同时有AuB,BA,那么称事件力与事件8等价，或称力等于8A=B.A.8中至少有一个发生的事件：IU8或者小尻属于/1而不属于3的局部所构成的事件，称为/1与8的差，记为也可表示为或者A5，它表示力发生而占不发生的事件。A.4同时发生：Ji9,或者力尻AB=0,那么表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。C-A称为事件A的
4、逆事件，或称A的对立事件，记为入。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)(BUC)(AUB)C=(AC)U(BC)A=A德摩根率：=i=AUB=AnB,AnB=AUB(7)概率的公理化定义设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数p（八）,假设满足以下三个条件：lo0P（八）l,2oP(Q)=13对于两两互不相容的事件A,A2,有彳0小丑P（八）V=I7/=I常称为可列(完全)可加性。那么称P（八）为事件A的概率。(8)古典概型loQ=M,g%,2oPgI)=PM)=P)=-on设任一事件
5、A,它是由。1,幻2组成的，那么有尸=)U(g)UU(%)=P)+P(g)+P(%)_m_A所包含的基本事件数一一基本事件总数(9)几何概型假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述,那么称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P（八）=。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。1.(C)(10)加法公式P(A+B)=P（八）+P(B)-P(AB)当P(AB)=O时，P(A+B)=P（八）+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P（八）-P(AB)当BUA时,P(A-B)=P（八）-P(B)当A=C时，P()=l-P(B)(
6、12)条件概率定义设A、B是两个事件，且P（八）O,那么称C股为事件A发生条件下，P（八）事件B发生的条件概率，记为P(8A)=C殁P（八）条件概率是概率的一号，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=I=P(5)=I-P(B)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P（八）P(BZA)更一般地，对事件A”A2,-An,假设P(A也AnT)0,那么有P(A1A2.A”)=P（八）P(A21A1)P(A31AiA2)P(A,lAiA2.An-1)(14)独立性两个事件的独立性设事件A、8满足P(AB)=P（八）P(8),那么称事件A、B是相互独立的。假设事件A、8相互独立，且P（八）,那
7、么有P(BIA)二还-P（八）P二P（八）P（八）假设事件A、8相互独立，那么可得到N与3、A与石、N与否也都相互独立。必然事件。和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P（八）P(B)sP(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P（八）并且同时满足P(ABC)=P（八）P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件8,氏,所满足lo,8”两两互不相容，P(Bi)0(/=1,2,w),AUOBi2o/=I,那么有P（八）=P(Bi)P（八）Bi)+P(2)P(A|&
8、)+P(8,)P(AB,.)。(16)贝叶斯公式设事件8,&,，&及4满足loBi,B2,后两两互不相容，P(Bi)o,i=lf2,，nAUUB2。Y,P()Of那么P(Bm=,P(B)P(AIBi),E2,NP(Bj)P(A/BQj=l此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i=l,2,)，通常叫先验概率。P(BiA)t(i=l,2,，)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其
9、他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，那么.发生的概率为=4,用PMk)表示重伯努利试验中4出现以A)次的概率，PAQ=CpkqZ,4=o,2,第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=l,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=Pk,k=l,2,，那么称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：XIX,X2,XjI,P(X=Xk)pi,p2,，p%。显然分布律应满足以下条件：定Pk=I(1)Pk,k=12,念o(2)连续型随机
10、变量的分布密度设厂(X)是随机变量X的分布函数，假设存在非负函数f(x),对任意实数X,有尸(X)=IJ(X那么称X为连续型随机变量。/(幻称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1。oo2。3L离散与连续型随机变量的关系P(X=x)P(xXx+dx)f(x)dx积分元fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=Xk)=Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，X是任意实数，那么函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(4切的概率。分布函数尸(
11、X)表示随机变量落入区间(-8,内的概率。分布函数具有如下性质：OF(x)1,x+;尸(X)是单调不减的函数，即X1+Q04oF(x+0)=F(x),即F(X)是右连续的；5oP(X=x)=F(x)-F(x-O)o对于离散型随机变量，F(x)=Zp；X对于连续型随机变量，F(x)=(x)d.八大分布0-1分布P(X=I)=P,P(X=O)=Q二项分布在重贝努里试验中，设事件4发生的概率为P。事件A发生的次数是随机变量，设为X,那么X可能取值为0,1,2,P(X=k)=P*k)=C)kqn,其中7=1-p,0p0,Z=OJ,2，女！那么称随机变量X服从参数为4的泊松分布，记为X(%)或者P(4)
12、。泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n-*)o超几何分布CtCtL=O,1,2P(X=k)=3一上业，CJI=min(,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。几何分布P(X=Z)二夕ip,%=1,2,3,，其中p20,q=l-po随机变量X服从参数为P的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数/*)在a,b上为常数一，即b-aaxbm,其他，那么称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为XU(a,b)o分布函数为0,xb当aWxx2Wb时，X落在区间(西，工2)内的概率为P(x1XX2)=ob-a指数分布”成弋x0,/()=n
13、I0,无。，其中丸那么称随机变量X服从参数为4的指数分布。X的分布函数为弋x0产(F0IU,0o记住积分公式：+00xnexdx=n.0正态分布设随机变量X的密度函数为/(x)=j-x0为常数，那么称随机变量X服从参数为、。的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN(q2)。/()具有如下性质：1。 f(x)的图形是关于X=对称的；2当一时，f(/)=.为最大值；,y2假设XRyXUr嘛么X的分布函数为F(X)=Ie2dt2cJ-OO参数二、。=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(叫其素度函数记为(x)=-r=e272,+,分布函数为1 XZ(X)=fe2dtO2r(幻是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-)=1-(x)且(O)=o?如果XN(q2),那么壬LWN(OJ)。D/V/zx2一/为一、P(Xl
