四边形综合练习-一模二模-练习-答案.docx

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1、四边形综合练习一、解答题1.如图,在ABC。中,AE平分N8A2交BC于点E,斯平分ZABC,交AD于点、尸、AE与BF交于点、P,连接EF,PD.By求证:四边形AB是菱形;(2)若A8=6,AD=9,ZABC=60。,求NDCP的度数及tanCDP的值.【答案】(1)见解析;(2)90,在2【解析】【分析】(1)根据平行四边形和角平分线的性质可得B=破,AB=AF,AF=BE,从而证明四边形ABEF是菱形;(2)过尸作P”_LA。于,交BC于G,由含30角的直角三角形的性质得AP=-AB=3fFP=BP=30AH=P=,PH=LPF=亚,贝J22222DH=AD-AH=*再由勾股定理求出P

2、。、PC的长,证出APCO是直角三角形,NDCP=90。,即可解决问题.【详解】解:(1)证明:四边形ABC。是平行四边形,.AD/BC.zdae=zaeb.AE平分NEAD,.ZDAE=NBAE.NBAE=ZAEb.AB=BE.同理:AB=AF.-.AF=BE.四边形AB即是平行四边形.AB=BE,,四边形AB即是菱形:(2)解:过尸作。于,交BC于G,如图所示:则G_LBC,四边形ABM是菱形,NABC=60。,AB=6,.AB=AF=6fAEtBF,BP=FP,ZAB产=ZAFe=30,.AP=AB=3,FP=BP=用AP=36,=1aP=2,PH=LPF=空,2222315.-.DH=

3、AD-AH=9=22:.PD=-Jph1+DH2=J(竽)2+(y)2=37,同理:PG=PH=当,BG=3PG=,四边形ABC。是平行四边形,.CD=AB=6,BC=AD=9t9.CG=BC-BG=-t2PC=PG2+CG2=净+g)2=33PC2+CIf=PD2,.PCZ)是直角三角形,NPCP=90,-PC363.,.tanZCDP=.CD62本题考查了菱形的判定与性颁、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、含好角的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.2.如图,四边形ABCQ是矩形,点E是边BC上一点,AE工ED.D(1)求证:

4、AABEsECD;(2)尸为AE延长线上一点,满足比=EA,连接。尸交BC于点G.若AB=2,BE=f求GC的长.3【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)由矩形的性质和垂宜的定义,得至J=NC=9(r,5E=NCED,即可得到结论成立;(2)由相似三角形的性质和矩形的性质,求出EC=4,BC=5,再证明,AFMEFG,再利用相似三角形的性质,即可求出GC的长.【详解】(1)证明:V四边形ABQ)是矩形,/.Zfi=ZC=90o.:NBAE+ZAEB=900.:AE工ED,ZAED=90o.:.ZAEB+NCED=W.:.ZBAE=乙CED.ABESGECD.B(2)解:由(1)

5、ABEECD,.ABECBECD 矩形ABC。中,CD=AB=2,BE=T,EC=4. BC=BE+EC=5.:ADBCt 二AFDLEFG.ADAFEGEF:AE=EF, AF=2EF. =2,EG=-AD=-SC=-.EG2223CG=EC-EG=.2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,余角的性质,以及垂直的定义,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质,正确的进行解题.3.在平行四边形A8C。中,过点。作DLA8于点E,点尸在边C。上,DF=BE,连接AEBF.(1)求证:四边形8。E是矩形;求证:A尸平分ND48.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】【

6、分析】(1)先求出四边形BH)E是平行四边形,再根据矩形的判定推出即可;4(2)由三角函数定义求出B/C尸=8,由勾股定理得出BC=I0,由平行四边形的性质得出A3C。,AD=BC=IOf则NBA=NO,证AO=OR则NDA产=ZDM,得出NBAF=NQA尸即可.【详解】解:(1)证明:Y四边形ABCQ是平行四边形,ABDC, :DF=BE, 四边形BFDE是平行四边形, :DELAB,:.NDEB=90。,,四边形BFDE是矩形;(2)证明:Y四边形BFQE是矩形,:,NBFC=NBFD=90。,CF6,tanC-,3CFY四边形ABC。是平行四边形,J.ABCD,AD=BC=IOf:.ZB

7、AF=ZDFAtVDC=16,:.DF=DC-CF=16-6=10,:.AD=DFt:ZDAF=ZDFa,/.ZRAF=ZDAFt【点睛】本题考查了平行四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理的应用,解直角三角形,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的定义,掌握以上知识是解题的关键.4.如图,在;ABC中,CD平分NACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于点E,F,G,连接DE,DG.(1)求证:四边形DGCE是菱形;(2)若NACB=30。,ZB=45o,ED=2,求BG的长.【答案】(1)见解析;(2)13【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证NEDC=N

8、DCG=NACD=NGDC,可得CEDG,DE/7GC,由菱形的判定可证结论:(2)过点D作DHJ_BC,由菱形的性质可得DE=DG=2,DGEC,由直角三角形的性质可得BH=DH=1,HG=3DH=3,即可求BG的长.【详解】解:(1)YCD平分NACB,ZACD=ZDCG,TEG垂直平分CD,DG=CG,DE=EC,ZDCG=ZGDC,ZaCD=ZEDC,:ZEDC=ZDCG=ZACD=ZGDC,CE/7DG,DE/7GC,四边形DECG是平行四边形,且DE=EC,,四边形DGCE是菱形;(2)如图,过点D作DH_LBC,V四边形DGCE是菱形,DE=DG=2,DG/7EC,/.NACB=

9、NDGB=30。,且DHBC,DH=1,HG=3DH=3,VZB=45o,DHBC,ZB=ZBDH=450,.*.BH=DH=I,BG=BH+HG=l+3.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质,熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键.5.如图,四边形ABeO为矩形,点E为边AB上一点,连接。E并延长,交C8的延长线于点P,连接以,ZDPA=2ZDPC.求证:DE=2M.【答案】见解析.【解析】【分析】如图,取DE的中点F,连接AF,根据矩形的性质得到ADBC,求得ZDPc=ZADP,根据直角三角形的性质得到AF=DF=DE,求得NADP=ND

10、AF,等量代换得到结论.【详解】证明:如图,取QE的中点凡连接4凡V四边形A8C。为矩形,J.AD/BC,工NDPC=NADP,VZBD=90o,:AF=DF=;DE,工ZADP=ZDAFf.*.ZAFP=2ZADP=2ZDPC,;ND%=2NDPC,:.ADPA=AAFPi/.AP=AF=DE,C.DE=2P.【点睛】本题考查了矩形的性质,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.6.如图,ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE=DF,ZAEC=90o.(1)求证:四边形AECF是矩形;(2)连接BF,若AB=4,ZABC=60o,BF平分NABC,求AD的长

11、.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)先根据平行四边形的性质得到BC=AZ8CAO,再根据线段的和差可得求得EC=AF,然后根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形,最后根据矩形的判定定理即可得证;(2)先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出8E=2,AE=2#,再根据矩形的性质得到FCBC,FC=AE=2下,然后根据角平分线的定义得到ZFBC=ZABC=30,最后根据直角三角形的性质、平行四边形的性质即可得.【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形,BC=D,BCAD又.BE=DF:BC-BE=AD-DF,即EC=AF,四边形AECF为平行四边形又.ZAfC=90

12、0四边形AECF是矩形:(2)在油ZXABE中,AEB=90o,ZLABE=60o,AB=4.,.E=-AB=ZAE=JaB2-BE2=232V四边形AECF是矩形FCBGFC=AE=23YBF平分ZABC.*.NFBC=-ZABC=302在Rf.BCF中,NFCB=900,AFBC=30o,FC=23BF=2FC=4y3.BC=yBF2-FC2=6AD=BC=6.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点,熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.7.如图,在RtZXABC中,ZC=90o.求作:线段8,使得点O在线段AB上,且CO=作法:分别以点A,8为

13、圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于点M,N两点;做直线MN,交AB于点、D;连接C。.所以线段C。即为所求的线段.(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:VAf=W,AN=BN,MN是48的垂直平分线.()(填推理的依据)点。是A8的中点.VZC=90,CD=B.()(填推理的依据)【答案】(1)作图见解析;(2)线段的垂直平分线的性质,直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【解析】【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)根据线段的垂直平分线的性质,直角三角形斜边中线的性质证明即可.【详解】解:(1)补全图形如下图所示;(2)证明:t:AM=BM,A

14、N=BN,JMN是48的垂直平分线.J线段的垂直平分线的性质L),点。是A5的中点.VZC=90,/.CD=-AB.(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)2故答案是:线段的垂直平分线的性质,直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【点睛】本题考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线的性质,直角三角形斜边中线的性质等知识,熟练掌握基本知识是解题的关键.8.如图,在,ABC中,AB=ACtADBC,垂足为。,过点A作A七BC,且AE=BD,连接BE,交AD于点F,连接CE.(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)若CE=4,求AF的长.【答案】(1)见解析;(2)2【解析】【分析】(1)先证明四边形AOCE是平行四边形,由AD_L3C得到乙4。=90。,实现解题目标;(2)由四边形4。CE是矩形,得至JAD=CE=4,根据AEBC,得到NEAF=N

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