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1、四边形综合练习一、解答题1.如图，在ABC。中，AE平分N8A2交BC于点E,斯平分ZABC,交AD于点、尸、AE与BF交于点、P,连接EF,PD.By求证：四边形AB是菱形；（2）若A8=6,AD=9,ZABC=60。，求NDCP的度数及tanCDP的值.【答案】（1）见解析；（2）90,在2【解析】【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得B=破，AB=AF,AF=BE,从而证明四边形ABEF是菱形；（2）过尸作P”_LA。于，交BC于G,由含30角的直角三角形的性质得AP=-AB=3fFP=BP=30AH=P=,PH=LPF=亚，贝J22222DH=AD-AH=*再由勾股定理求出P
2、。、PC的长，证出APCO是直角三角形，NDCP=90。,即可解决问题.【详解】解：（1）证明：四边形ABC。是平行四边形，.AD/BC.zdae=zaeb.AE平分NEAD,.ZDAE=NBAE.NBAE=ZAEb.AB=BE.同理：AB=AF.-.AF=BE.四边形AB即是平行四边形.AB=BE,，四边形AB即是菱形:(2)解：过尸作。于，交BC于G,如图所示:则G_LBC,四边形ABM是菱形，NABC=60。，AB=6,.AB=AF=6fAEtBF，BP=FP,ZAB产=ZAFe=30,.AP=AB=3,FP=BP=用AP=36,=1aP=2,PH=LPF=空,2222315.-.DH=
3、AD-AH=9=22:.PD=-Jph1+DH2=J(竽)2+(y)2=37，同理：PG=PH=当,BG=3PG=,四边形ABC。是平行四边形,.CD=AB=6,BC=AD=9t9.CG=BC-BG=-t2PC=PG2+CG2=净+g)2=33PC2+CIf=PD2,.PCZ)是直角三角形，NPCP=90,-PC363.,.tanZCDP=.CD62本题考查了菱形的判定与性颁、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、含好角的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.2.如图，四边形ABCQ是矩形，点E是边BC上一点，AE工ED.D（1）求证：
4、AABEsECD;（2）尸为AE延长线上一点，满足比=EA,连接。尸交BC于点G.若AB=2,BE=f求GC的长.3【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质和垂宜的定义，得至J=NC=9（r,5E=NCED,即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质和矩形的性质，求出EC=4,BC=5,再证明,AFMEFG,再利用相似三角形的性质，即可求出GC的长.【详解】（1）证明：V四边形ABQ）是矩形，/.Zfi=ZC=90o.：NBAE+ZAEB=900.：AE工ED,ZAED=90o.：.ZAEB+NCED=W.：.ZBAE=乙CED.ABESGECD.B(2)解：由(1)
5、ABEECD,.ABECBECD 矩形ABC。中，CD=AB=2,BE=T,EC=4. BC=BE+EC=5.：ADBCt 二AFDLEFG.ADAFEGEF：AE=EF, AF=2EF. =2,EG=-AD=-SC=-.EG2223CG=EC-EG=.2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，余角的性质，以及垂直的定义,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的进行解题.3.在平行四边形A8C。中，过点。作DLA8于点E,点尸在边C。上，DF=BE,连接AEBF.（1）求证：四边形8。E是矩形;求证：A尸平分ND48.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【
6、分析】(1)先求出四边形BH)E是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；4(2)由三角函数定义求出B/C尸=8,由勾股定理得出BC=I0,由平行四边形的性质得出A3C。，AD=BC=IOf则NBA=NO,证AO=OR则NDA产=ZDM,得出NBAF=NQA尸即可.【详解】解：(1)证明：Y四边形ABCQ是平行四边形，ABDC, ：DF=BE, 四边形BFDE是平行四边形， ：DELAB,：.NDEB=90。,，四边形BFDE是矩形；(2)证明：Y四边形BFQE是矩形，：,NBFC=NBFD=90。,CF6,tanC-，3CFY四边形ABC。是平行四边形,J.ABCD,AD=BC=IOf：.ZB
7、AF=ZDFAtVDC=16,：.DF=DC-CF=16-6=10,：.AD=DFt：ZDAF=ZDFa,/.ZRAF=ZDAFt【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键.4.如图，在；ABC中，CD平分NACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于点E,F,G,连接DE,DG.(1)求证：四边形DGCE是菱形；(2)若NACB=30。，ZB=45o,ED=2,求BG的长.【答案】(1)见解析；(2)13【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证NEDC=N
8、DCG=NACD=NGDC,可得CEDG,DE/7GC,由菱形的判定可证结论：(2)过点D作DHJ_BC,由菱形的性质可得DE=DG=2,DGEC,由直角三角形的性质可得BH=DH=1,HG=3DH=3,即可求BG的长.【详解】解：(1)YCD平分NACB,ZACD=ZDCG,TEG垂直平分CD,DG=CG,DE=EC,ZDCG=ZGDC,ZaCD=ZEDC,：ZEDC=ZDCG=ZACD=ZGDC,CE/7DG,DE/7GC,四边形DECG是平行四边形，且DE=EC,，四边形DGCE是菱形；(2)如图，过点D作DH_LBC,V四边形DGCE是菱形，DE=DG=2,DG/7EC,/.NACB=
9、NDGB=30。，且DHBC,DH=1,HG=3DH=3,VZB=45o,DHBC,ZB=ZBDH=450,.*.BH=DH=I,BG=BH+HG=l+3.【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键.5.如图，四边形ABeO为矩形，点E为边AB上一点，连接。E并延长，交C8的延长线于点P,连接以，ZDPA=2ZDPC.求证：DE=2M.【答案】见解析.【解析】【分析】如图，取DE的中点F,连接AF,根据矩形的性质得到ADBC,求得ZDPc=ZADP,根据直角三角形的性质得到AF=DF=DE,求得NADP=ND
10、AF,等量代换得到结论.【详解】证明：如图，取QE的中点凡连接4凡V四边形A8C。为矩形,J.AD/BC,工NDPC=NADP,VZBD=90o,：AF=DF=；DE,工ZADP=ZDAFf.*.ZAFP=2ZADP=2ZDPC,；ND%=2NDPC,：.ADPA=AAFPi/.AP=AF=DE,C.DE=2P.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.6.如图，ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF,ZAEC=90o.（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB=4,ZABC=60o,BF平分NABC,求AD的长
11、.【答案】（1）见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到BC=AZ8CAO,再根据线段的和差可得求得EC=AF,然后根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，最后根据矩形的判定定理即可得证；（2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出8E=2,AE=2#,再根据矩形的性质得到FCBC,FC=AE=2下,然后根据角平分线的定义得到ZFBC=ZABC=30,最后根据直角三角形的性质、平行四边形的性质即可得.【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，BC=D,BCAD又.BE=DF：BC-BE=AD-DF,即EC=AF，四边形AECF为平行四边形又.ZAfC=90
12、0四边形AECF是矩形：(2)在油ZXABE中，AEB=90o,ZLABE=60o,AB=4.,.E=-AB=ZAE=JaB2-BE2=232V四边形AECF是矩形FCBGFC=AE=23YBF平分ZABC.*.NFBC=-ZABC=302在Rf.BCF中，NFCB=900,AFBC=30o,FC=23BF=2FC=4y3.BC=yBF2-FC2=6AD=BC=6.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.7.如图，在RtZXABC中，ZC=90o.求作：线段8,使得点O在线段AB上，且CO=作法：分别以点A,8为
13、圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M,N两点；做直线MN,交AB于点、D；连接C。.所以线段C。即为所求的线段.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：VAf=W,AN=BN,MN是48的垂直平分线.（）（填推理的依据）点。是A8的中点.VZC=90,CD=B.（）（填推理的依据）【答案】（1）作图见解析；（2）线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质证明即可.【详解】解：（1）补全图形如下图所示；（2）证明：t:AM=BM,A
14、N=BN,JMN是48的垂直平分线.J线段的垂直平分线的性质L），点。是A5的中点.VZC=90,/.CD=-AB.（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）2故答案是：线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半.【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.8.如图，在，ABC中，AB=ACtADBC,垂足为。，过点A作A七BC,且AE=BD,连接BE,交AD于点F,连接CE.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)若CE=4,求AF的长.【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】(1)先证明四边形AOCE是平行四边形，由AD_L3C得到乙4。=90。，实现解题目标；(2)由四边形4。CE是矩形，得至JAD=CE=4,根据AEBC,得到NEAF=N
