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1、考点10平面向量的概念和运算【玩前必备I1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量屈的大小叫做向量的长度(或模)，记作丽(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：。与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(6)相反向量:与向量。长度相等且方向相反的向量叫做。的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.2.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的
2、加法.(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.三角形法则平行四边形法则(3)运算律：+b=b+;(+b)+c=+(b+c)3.向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.(2)法则：三角形法则.(3)运算律：ab=+(b)4 .向量的数乘(1)实数2与向量。的积是一个向量，记作痴，它的长度与方向规定如下:a=a,当Z0时，痴与”的方向相同；当NvO时，痴与。的方向相反；当2=0时，痴=0.(2)运算律：设2、juR,则:(a)=()a;(A)=2ju;+b)=2+动.5 .向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数九使得b=痴，则向量与非零向量。共线.6 .平面向量基本定理
3、如果ei,62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，存在唯对实数由、22,使a=e+2e2.我们把不共线的向量e”62叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量。能用一组基底的，62表示，即=ie+%2e2则称它为向量的分解。当ei，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。7 .平面向量的坐标运算(1)设Aa1,力)，B(X2,”)，则B=(m-%i,y2-y)诵I=4S汨A+yM(2)设G=(X1，y),b=g2)，则+b=C+i2,力+”)，ab=(xi-2f一工)，(3)若=(1,-2),若m+泌=(9,-8)(w,九gR),则用一的值为.题型四平面向量共线
4、定理例9(新课标H理)设向量,b不平行，向量痴+b与+2b平行，则实数2=.例10(2020上饶-模)己知力是不共线的向量，OA=a+b,OB=2a-h,OC=a-2b,若A、B、C三点共线，则;I、满足()A.=3B.=/+3C.=+2D.=-2.例11(2016全国)平面向量=(x,3)与=(2,y)平行的充分必要条件是()A.,=0y=OB.=-3,y=-2C.xy=6D.y=-6例12(2018全国In)已知向量0=(l,2),b=(l,O),c=(3,4).若2为实数，(+劝)C则为=()A.IB.IC.1D.2玩转练习1 .对于非零向量G,b,“。+26=0”是“ab”的（）A.充
5、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .己知向量矗=+3b,比=5+3方，CD=3a+3bf贝J（）A.AfB,C三点共线B.4,B,。三点共线C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线3 .如图,在正方形A88中，点E是。C的中点,点尸是BC上的一个靠近点B的三等分点,那么辞等于()ABB.%8+%OD.A-AD4 .如图，已知AB是圆O的直径，点C,是半圆弧的两个三等分点，AB=a,Ab=则病等于()A.ajbB4一C.+/D.%+力5.已知M(3,-2),NL5,一1),且加=3萌V,则尸点的坐标为(A.(-8,1)B-|)(8 a6 .(2020.山西
6、榆社中学诊断)若向量A8=QC=(2,0),40=(1/)，贝必C+8C等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)7 .(2020.海南联考)设向量Q=(x,-4),b=(l,-x),若向量。与b同向，则X等于()A.-2B.2C.2D.O8 .已知平面直角坐标系内的两个向量=(l,2),b=(m,3?-2),且平面内的任一向量C都可以唯一的表示成c=2+b(2,为实数)，则实数机的取值范围是()A.(一8,2)B.(2,)C.(一8,oo)D.(一8,2)U(2,+)9 .在平面直角坐标系Xoy中，已知41,0)，8(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，NAoC=；
7、,且Ioq=2,若诙=5+5h,则2+等于()A.22B.2C.2D.4210 .(2020蚌埠期中)已知向量机=GinA,，与向量=(3,SinA+5cosA)共线，其中A是aABC的内角,则角A的大小为(),兀C兀C兀C兀A%BqC.jD.g11 .若三点A(l,-5),B(a,2),CL2,1)共线，则实数的值为.12 .设向量如。满足=2小，b=(2A)t且。与的方向相反，则。的坐标为考点11平面向量数量积玩前必备1.两个向量的夹角已知两个非零向量。和b,作后=。，OB=b,N4。B=J(0。J180。)叫作向量Q与b的夹角，记作.当。=0。时，。与b同向；当9=180。时，与力反向；
8、当9=90。时，则称向量与方垂直，记作a_LA2.平面向量的数量积已知两个向量。和从它们的夹角为仇我们把IaiIMeoSe叫作Q与口的数量积(或内积),记作。瓦BPab=IallbICOS.3 .平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度同与b在方向上的射影IbICoS的乘积或b的长度IbI与。在b方向上的射影cos的乘积.注意：力在。方向上的投影为固cos，=喘，而。在b方向上的投影为cos，=喘，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4 .平面向量数量积的重要性质()ad.ba-b=O；(2)当。和同向时，ab=ab当“和力反向时，ab=-ah;特别地，aa=2,a=yaa
9、abCoSo=丽；5 .平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量,b,a=(xtj),b=(x2fJ2)(l)Z=xx2y1y2.(2)2=x2+y2E=x2+y2.(3)LbOxlx2+w2=O小ZJX1X2+)D2csy2+y222+3j22玩转典例题型一平面向量数量积的计算例1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形AAC中，ZACB=-,AC=BC=2,点P是斜边4?上一点，2且BP=2E4,那么CPCA+CP.CB=（）A.-4B.-2C.2D.4例2（2020上海）三角形ABC中，。是BC中点，Ae=2,BC=3,AC=4,贝J4O48=.例3（2019新课标11）已知A8=（2,3）,
10、AC=（3j）,BC=1,则AB8C=（）A.一3B.-2C.2D.3例4（2018新课标II）已知向量d,方满足IaI=1,a.b=-,则”（2。一力）=（）A.4B.3C.2D.0题型二利用数量积求模长例5（2020香坊区模拟）已知单位向量的夹角为6,且tan。=，若向量旭=耳-36,则|”|=（2）A.2B.GC.26D.应或向例6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设x,yR,向量4=（乂1）,6=（2,丁），。=（-2,2）,且J_C,bllC，则卜+司=.题型三利用数量积求夹角例7（2020临汾模拟）已知夹角为6的向量。，力满足43+b）=2,且=2b=2,则向量，b的关
11、系是（）A.互相垂直B.方向相同C.方向相反D.成120。角例8（2020江西省南昌市新建二中高三二模（理）己知向量，方满足W=I=（1,6）,若4（叫=2,则Q与的夹角为.题型四利用数量积求解垂直问题例9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量Q,8满足Ial=区则*+24=|2。一可是a_Lb”的(D.既不充分也不必要条件解:A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件例10（2020吉林省高三二模（理）己知。=（1,3）,=（22）,。=（,一1）,若（-c）Lb,则等于（）A.3B.4C.5D.6题型五利用数量积求射影例11（湖北，7）已知点4一1,1）,B（L2）,C（2,-1）,0（3,4）,则向量法在诙方向上的投影为（）ah/ZR妪r_3Z_妪f?D.）-2L*）玩转练习1. （2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，AD1AB,DC=3BD,AD=2f则AC4。的值为（）A.3B.8C.12D.162. （2020内蒙古模拟）已知向量d+5=（l,2）,-C=（
