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1、第2讲充分条件与必要条件.全称量词与存在量词思维导图题型1：全称命题与特称命题题型2：充分条件、必要条件的判定充分条件与必要条件、全称量词与存在量词题型3:充分条件、必要条件的应用全称命题或特称命题的否定致误常见误区对充分必要条件判断不明致误知识梳理1 .充分条件、必要条件与充要条件(I)如果P今q,则是q的充分条件;(2)如果尸p,则一是q的必要条件;(3)如果既有P今生又有g，p,记作POq,则是M的充要条件,一2 .全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.(2)全称命题：含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个X,
2、有P(X)成立”的命题，用符号简记为WXWM,Pa).3 .存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2)特称命题：含有存在量词的命题.(3)特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素的，使Pao)成立”的命题，用符号简记为mxoM,p(xo).核心素养分析常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。题型归纳题型1全称命题与特称命题【例11】（2020济南模拟
3、）已知命题p,DXR,ex+-.2,则-P为（）exA.rR,ex+-.2B.3xcR,ex+-2exexC.3xRtexH-2D.VxRcx4-2exex【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题，VxR,F+.2,则p为3xR,er+-与+1的否定是（）A.Vr/?,exx+B.Bx0R,ex+1C.VXR,e,X+1D.3x0R,ex,ix0+1【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为以R,elx+1；故选：C.【跟踪训练I-1】（2020重庆模拟）命题:WXN,x+2.3的
4、否定为（）A.VXN,x+23B.VxN,x+23C.3xTVx+2.3D.3xN,x+213【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：TxN,x+23”的否定为：BxeNfx+20的否定为【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是x(O,m),ta,O,故答案为：Vx(O,+),tanX,O.【名师指导】全称命题与将称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.题型2充分条件
5、、必要条件的判定【例2-1】(2020重庆模拟)“a=l”是“直线2x+(+l)y-3=0和直线一x+欧+2=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两直线垂直的充要条件的应用，四个条件的应用求出结果.【解答】解：当。=1时，直线2x+(+l)y-3=0转换为2x+2y-3=0,直线一+y+2=0转换为一x+y+2=0,所以两直线垂直.当“直线2x+(+l)y-3=0和直线一X+Gy+2=0垂直”则：一2+(+l)=0,解得=-2或1,故=l是直线2x+(+l)y-3=0和直线-x+y+2=0垂直”的成分不必要条件.故选：A.【例2
6、-2】(2020四川模拟)“sin2。=”是“tana=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由sin2a=2化弦为切求得tana,再由充分必要条件的判定得答案.5rfei,.c42sinacosa42tana4,CTl【解答】解：sm2a=-o；=-；=-otana=2或一，5sina+sa5Una+1524 4即由sin2a=不一定得到tana=2,反之，由tana=2一定得到sin21=-.5 5sin2a=d是tana=2的必要不充分条件.5故选：B.【跟踪训练2-1】(2020滨海新区模拟)若直线,/,平面。满足ua,IUa,则“/
7、_La”是“/J_a”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】在u,/Ua的前提下，由/J_a不一定得到/_La,反之成立，结合充分必要条件的判定方法得答案.【解答】解：aua,/Ua,由/_1_不能得到/_La,/与还可能平行或是相交不垂直；反之，由/_La，一定得到/_La.若u,IUa,则“/_La”是“/_La”的必要不充分条件.故选：B【跟踪训练2-2】(2020盐城四模)=2是函数f(x)=sin(5+马的图象关于点(四，0)对称”的612条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、”既不充分也不必要”之一).【分析】把口
8、=2代入函数/(x)=sin(0x+2),求出/(2)=0可知充分；反之，由/(2)=0求得61212IO1=-(k-),ZeZ,说明不必要.56【解答】解：若0=2,则函数/(K)=SinQA:+为，此时/役=sin(2x净马=0,可得函数/(x)=Sin(5+6的图象关于点(葛，0)对称；反之，若函数/(x)=sin(o+a的图象关于点(言，0)对称，则/(葛)=5出(需+2)=0，KPkZ则0进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据0,g成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.题型3充分条件、必要条件的应用【例3-1】（2020春河南
9、月考）己知:一掇改3,q.xi-2x+l-2.0（a0）,若夕是f的必要不充分条件，则实数的取值范围是.【分析】-2x+-Z.0（t70）解得或.+4,可得r，根据是r的必要不充分条件，即可得出.【解答】解：,Y-2%+1-/.O（O）,.j,1-。或x.l+,.-Iq-ax0.据题意，得l-a.-l,解得OVa,2.1+4,3故答案为：（0，2.【例3-2】（2019秋高安市校级期末）已知p:f-8x-2U,0,-2x+l-m2,0（m0）,（1）若是q的充分条件，但不是4的必要条件，求实数机的取值范围.（2）-IP是r的充分不必要条件，求机的范围.【分析】若夕成立，则一2领k10；若g成立
10、，则1一相融+m.（1）根据是q的充分不必要条件，可得-2,10是1-m，1+加的真子集，即可得出.（2）由-IP是r的充分不必条件，可得q是P的充分不必要条件，即可得出.【解答】解：若P成立，则一2领k10：若q成立，则l-k1+W7.（1） P是g的充分不必要条件，.一2,10是1+M的真子集，/n0,1-/几，-2（等号不同时成立），解得机.9.故实数的取值范围为机.9.1 +/M.10（2） -P是F的充分不必条件，国是的充分不必要条件，tn.Q.-2,1-加，解得：源加3.l+n,J0故实数机的取值范围为藤如3.【跟踪训练3-1（多选）（2019秋聊城期末）若+3工一40”的充分不必
11、要条件，则实数左可以是（）A.-8B.-5C.1D.4【分析】分别解出x2+3x-40,根据丁+3工一40”的充分不必要条件，即可得出.【解答】解：“V+3x-4v0=TVX0vOXV%,或xZ+3.x2+3x-40t,的充分不必要条件，C,k,或-4.4+3,解得：k.3,或鼠-7,则实数A可以是故选：AD.【跟踪训练3-2（2020松江区二模）若x-,l成立的一个充分不必要条件是啜Ik2,则实数。的取值范围是（）A.啜It2B.a.C.,2D.a.l或4,2【分析】b-,l,化为：-掇1,解得：工范围.根据x-,l成立的一个充分不必要条件是啜*2,即可得出.【解答】解：x-a,l,化为：掇
12、W1,解得:a-&a+.x-4,1成立的一个充分不必要条件是啜Ik2,.等号不能同时成立，解得掇人2.则实数的取值范围是掇W2.故选：A.【跟踪训练3-3（2019秋莉泽期末）请在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数机存在，求出机的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合A=xf-4x-12s,0,B=xx2-2x+-m0tm0.(1)求集合A,B；(2)若xA是x8成立的条件，判断实数机是否存在？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】(1)根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可.(2)根据充分条件和必要条
13、件的定义转化为不等式关系进行求解即可.【解答】解：(1)由f-41_12,()得_2领上6,故集合A=x-2领k6),由；T2-2x+l-=O得X=I，2=)+/n因为wO,故集合B=x|1-/或Ik1+?.(2)若选择条件，即xA是xeB成立的充分不必要条件，集合A是集合8的真子集，则有|一肛2,解得”.5,1+m.6所以,实数机的取值范围是5,+).若选择条件，即XeA是XWB成立的必要不充分条件，集合8是集合A的真子集，1一祖一2则有.二，解得OVm,3,所以，实数机的取值范围是(0,3.若选择条件，即XeA是Xe小成立的充要条件，则集合A等于集合8,fltn=-2则有L一N，方程组无解.1+w=6所以，不存在满足条件的实数机.故答案为：若xA是x8成立的充分不必要条件，则机.5,若xA是x8成立的
