第27讲解三角形应用举例(讲)(教师版).docx

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1、思维导图第27讲解三角形应用举例(讲)解三角形应用举例g考向1:测量距离问题题型1:解三角形的实际应用ef考向2:测量高度问题I考向3:测量角度问题题型2:正、余弦定理在平面几何中的应用题型3:解三角形与三角函数的综合问题常见误区搞错仰角、俯角的概念致误搞错方位角的概念致误知识梳理I.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).3 .方向角:相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东,即由指北方向顺时针旋转,到达目标方向(如图).(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目

2、标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.区分两种角(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角.(2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.4 .坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角。为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度).坡度又称为坡比.题型归纳题型I解三角形的实际应用【例1-1(2020春鼓楼区校级期末)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=80,ZAQB

3、=I35。,NBDC=NDcA=I5。,NAC8=120。,则A,B两点的距离为()A.803B.80C.160D.8O5【分析】根据题意画出图形,中利用正弦定理求出切的值,A8中利用等角对等边求出AD的值,再在ABD中由余弦定理求出AB的值.【解答】解:如图所示:DMCr)LII,8=80,NBDC=I5,ZecD=ZACB+NDCA=1200+15。=135。,/.ZCBD=30,由正弦定理,得BD解得BD=80,sin135osin30oACD中,8=80,ZDCA=15,ZADC=ZADB+ZBZX?=135o+15=150,AZCAD=15o,.AD=)=80,ABD,由余弦定理,A

4、B2=AD2+BD2-2AD.BDcosZADB=802+(802)2-280802cos135o=8025,.AB=8O5,即A,6两点间的距离为80百,故选:D.【例1-2(2020春威宁县期末)小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据8C=12m,B处的仰角60。,C处的仰角45。,cosZBAC=,N8OC=30o中选8取合适的,计算出旗杆的高度为()A.103B.12mC.122nD.123n【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出。和OC的长,进一步利用余弦定理的应用求出。4的长【解答】解:选如图所示:则NABO=60。,NACO=45。,设a=x,则

5、以=OC=X,OB=.3在ABOC中,利用余弦定理:BC2=122=x2+-2xJ=亚,32整理得:X = I2/,即OA = I23故选:D.【例1-3(2019秋黄山期末)新安江某段南北两岸平行,艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为片=8妨力,水流的速度的大小为匕=4如2/力,设匕和匕的夹角为,(0。6=()A+BG22cd4【分析】依题意可作出图形,利用图中的直角三角形可求得O=丝,从而可得答案.3【解答】解:依题意,作图如下,设由A到B航行的时间为,则IACI=4/,IAZ)I=I8C=8f,Af1在直角三角形ABC中,SinZABC=-=-,8/2所以

6、NABC=X,6所以6=匹+C=生,263所以COSe=-L2【跟踪训练1-1X2020春湖北期末)为了测量河对岸两地A、8之间的距离,先在河这岸选择一条基线8,测得Cf=米,再测得NAa)=90o,ZBCD=30。,NAZ)C=45。,NQM=IO5。,据此计算A、8两地之间的距离是()A.-JuB.aC.(3+)aD.3a2【分析】先在直角三角Aa)中,求出4),然后在三角形BeD中,利用正弦定理求出5D,最后利用三角形AB短中,利用余弦定理求出/W的值.【解答】解:由已知,在三角形AC。中,CD=a米,ZACD=90o,ZADC=45o,:.AD=-Jia.又在三角形58中,CD=米,N

7、Ba)二30。,NCDB=Io5。,/.ZB=45o,r1-114-tirHi4HCDBD0aBDJ由正弦定理得=,即=,ABD=-a.sinSinZBCDsin45osin30o2所以在AD8中,ZADB=105-45=60.AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos6O0=2a2+-a2-242a-a-a2,2222.AB=a.2故选:B.【跟踪训练1-2】(2020春德州期末)如图所示,为了测量山高MN,选择A和另座山的山顶C作为测量基点,从4点测得Af点的仰角N4N=60o,C点的仰角NeAB=45。,ZMAC=75,从C点测得NMCA=60。.已知山高3C=500m,则山高MN(单位

8、:m)为()A.750B.7503C.850D.85O3【分析】利用直角三角形求出AC,由正弦定理求出A再利用直角三角形求出MN的值.【解答】解:在RtABC中,NCAB=45。,8C=5006,所以Ae=500万;在AC中,ZMAC=75。,ZC4=60o,从而ZAMC=45。,由正弦定理得,sin45osin60o因此4M=5002X壬=500鬲;2V在RtMNA中,AM=5OO3,NMAN=60。,.MN.由=Sin60,AMJTMN=5003=750/?/.2【跟踪训练1-3】(2020春萍乡期末)俗语云:天王盖地虎,宝塔镇河妖.萍乡塔多,皆因旧时萍城多水患,民不聊生.迷信使然,建塔以

9、辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔此塔始建于唐代,后该塔曾因久失修倒塌,在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度,如图所示,在地面上一点A处测得塔顶8的仰角为60。,在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高CD为36米,A.(36近一36)米B.(36有一36)米C.(36*-36)米D.(72J-36)米【分析】根据题意结合图形,利用:角形的边角关系,即可求出塔高BC的值.A【解答】解:在RtACD中,NCAo=45。,CD=36,所以AD=36;在RlABD中,ZBAD=60o.所以3=ADtanNBAO=36J,所以8C=8O-CD=36J-36,

10、即塔高BC为(36J-36)米.故选:B.【跟踪训练1-4】(2020全国11卷模拟)公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点A处测得楼顶的仰角为45。,行走80米到点B处,测得仰角为30。,再行走80米到点C处,测得仰角为6.则tan6=.【分析】画出示意图,知道边长和角度,然后利用cosNE48=AE?+BE?=AE?+一氏?.EC,2AE.AB2AEC即可求出结论.【解答】解:如图:OE_L面ACE,ZEAD=45。,ZfBD=30o;由题可得:AE=Z)E=60:AB=BC=SO;EB =DEtan 30= 603 :cosZE4B =A 炉

11、 + 6 -2AE.AB2AE.AC6()2 + 8()2-(60后2 60 80堂黑尹2折Iane =377 77故答案为:也【名师指导】L测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.2 .高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3 .测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在

12、弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.题型2正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1(2020春垫江县校级期末)如图,在平面四边形ABc力中,A8的面积为J,AB=2,BC=3-1,ZABC=I20。,ZBCD=135o,ZACD=,AD=【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用,勾股定理的应用求出结果.【解答】解:连接AC,如图所示:在A8C中,由于AB=2,BC=67,NABC=I20。,利用余弦定理:AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cosZABC,解得AC=y6,所以 Co

13、SNBCA =AC2+BC2-AB22.AC.BC所以NeCA=45。.由于NBS=135。,所以NACD=90.已知A8的面积为LJJrtt-AC.CD=3,解得CZ)=.2进一步利用勾股定理的应用:D2=AC2+CD2,解得AO=2故答案为:90o.22【例22】(2020春天河区期末)如图,在四边形ABa)中,ZD=2,且4)=2,8=6,COSB=3.3(1)求ACf)的面积;(2)若8C=6,求A8的长.AD【分析】(1)利用已知条件求出D角的正弦函数值,然后求A8的面积;(2)利用余弦定理求出AC,通过Be的值利用余弦定理求解AB的长.【解答】解:(1), cos B =,0 B J23【跟踪训练2-1】(2019秋珠海期末)如图,在ABC中,ZB=45o,AC=8,。是BC边上一点,DC=5,C. 8D. 46【分析】先根据余弦定理求出NC度数,最后根据正弦【解答】解:在ADC中,

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