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1、第43讲利用空间向量求空间角和距离思维导图题型1：异面直线所成的角题型2:直线与平面所成的角题型3:二面角贝U领L以二IC9&上不3.二面角(1)若A8, CD分别是二面角a-/的两个平面内与棱/垂直的异面直线, 是向量工才与7万的夹角，如图(1)图(1)图(2)图(3)(2)平面Q与夕相交于直线/,平面。的法向量为n,平面用的法向量为】/为。或-0.设二面角大小为6 则IeOSM=kQs三骷如图(2)(3).4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离则二面角(或其补角)的大小就Fl2/12 (I11, 2 =仇则二面角 aiTI；:F.一包涅耳目哙IE卅闫二知识梳理I.异面直线所成角设异面直线
2、。，力所成的角为仇则CO2.直线与平面所成角如图所示，设/为平面的斜线，Z=,题型4:求空间距离异面直线所成角的取值范围出错致误常见误区(二面角的取值范围出错致误I直线和平面所成的角的取值范围出错致误Se=I瑞j,其中a,b分别是直线,b的方向向量.a为/的方向向量，n为平面。的法向量，3为/与所成的角,设点A。”y,z),点8(x2，yfZ2),则8=|=1(总一及)2+(y”+-Z2=(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为|而|=嗤回题型归纳题型1异面直线所成的角【例1-1】（2020济南模拟）己知直角梯形ABa）中，AD/BC,A
3、BLBC,AB=AD=-BC,将直角梯2形AeCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90。，形成如图所示的几何体，其中为CE的中点.（1）求证：BM工DF；（2）求异面直线与斯所成角的大小.【分析】（I）建立空间坐标系，得出BM,。尸的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直;（2）计算和E尸的夹角，从而得出异面直线所成角的大小.【解答】（1）证明：ABLBC,AB上BE,BCBE=B,.AB，平面3CE,以8为原点，以BE,BC,HA为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设Ae=AD=1,则O（0,1,1）,尸（1,0,1）,B（0,0,0）,M（应，0,0）,.=(2,屈,0),DF=(1
4、,-1,0),.BM.DF=逐一+0=0,.BMLDF.(2)解：E(2,0,0),故即=(-1,0,1),cos =BM.EFBM EF 2y2 5.设异面直线与所所成角为。，则CoSe=ICOS中，QAJ_平面ABC),底面四边形Ae8为直角梯形,AD/BC,ADYAB,PA=AD=2,AB=BC=,Q为PD中点、.(I)求证：PDLBQ(II)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.【分析】(/)建立空间直角坐标系，只要证明尸。用2=0,即可证明结论.(IDCP=(-1,-1,2),利用向量夹角公式即可得出.【解答】(1)证明：如图所示，A(0,0,0),8(1,0,0),P(0,0,2),
5、0(0,2,O),Q(0,1,1),C(1,1,0),PD=(0,2,-2),BQ=-,1,1),由PD.BQ=2-2=Q,:.PDlBQ,.PD1.BQ；(II)解：CP=(T,-1,2),2J?cos=L-L=-363.异面直线PC与BQ所成角的余弦值为4.【跟踪训练1-1】（2020运城三模）如图，四边形ABCz）为平行四边形，且AB=4）=M）=2,点E,F为平面ABC。外两点，）7/4。且后尸=24：=26，ZEAD=ZEAB.（1）证明：BDA-CF;（2）若/石AC=60。，求异面直线AE与Z）厂所成角的余弦值.【分析】（1）设8力与AC相交于点G,连接G,从而3OLAC,推导出
6、E4D=E4B,从而皿）J_平面ACFE,由此能证明8_Lb.Z轴建立空间直角坐标系G -孙z ,(2)过G作AC的垂线，交EF于/点，分别以GA,GB,GM为x,y,利用向量法能求出异面直线AE与所成角的余弦值.【解答】解：(1)证明：设9与AC相交于点G,连接G,由题意可得四边形ABa)为菱形，所以3fLAC,DG=GB,在E4f和E4B中，AD=AB.AE=AE,ZEAD=ZEABt所以EW=E4B,所以ED=ES,所以3。_LEG,因为ACEG=G,所以8。_L平面AC庄,因为bu平面ACFE,所以BDLCF.(2)解：如图，在平面AFC内，过G作AC的垂线，交E尸于M点,由(1)可知
7、，平面ACFEj平面AHa),所以MG_L平面ABa),故直线GM,GA,GB两两互相垂直，分别以G4,GB,GM为X,y,Z轴建立空间直角坐标系G-jz,因为NEAC=60,则A(,),0(0,-1,O),E(,0,-)，F(-,0,-),2222所以AE=(*,0,),Z)尸=(一乎异面直线AE与DF所成角的余弦值为：【名师指导】用向量法求异面直线所成角的一散步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量：(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值：(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹闲余弦值的绝对值.题型2直线与平面
8、所成的角【例21(2020海南)如图，四棱锥尸-他8的底面为正方形，底面ABCr.设平面EAD与平面PBC的交线为/.(1)证明：/_L平面叨C；(2)已知包=AD=1,Q为/上的点，Q8=,求PB与平面QCz)所成角的正弦值.【分析】(1)过P在平面皿内作直线/AD，推得/为平面EAQ和平面QBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以。为坐标原点，直线DC，DP所在的直线为4,y,Z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,求出Q(0,1,1),运用向量法，求得平面QC。的法向量，结合向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：过P在平面RAZ)内作直线/AD,由AO/5C,可得/HC,即
9、/为平面PA。和平面PAC的交线，Pz)L平面ABC。，BCu平面ABCD,:.PD工BC,又BC人CD,CDPD=D,.8C_L平面PCZ)，IHBC、./_L平面PCZ);(2)解：如图，以。为坐标原点，1纹。4,DC,OP所在的宜线为X,)，Z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,PD=AD=It。为，上的点，QB=应,:.PB = S , QP = I,则D(0,0,0),A(l,0,0),C(0,LO),P(0,0,1),BQ,1,0),作PQ/AD,则PQ为平面EAD与平面PBC的交线为/,取Q(l,O,1),则OQ=(1,0,1),PB=(1,1,-1),DC=(0,1,0),设平面
10、QCo的法向量为=(,6,c),rlln.DC=OIb=O则J,.，取c=l,可得=(T,0,1),n.DQ=O(+c=O. cos =3-=*叁|IlPBl瓜近3.08与平面QCZ）所成角的止弦值为手.【例2-2】（2020北京）如图，在正方体48Co-ASeQ中，E为BBl的中点.（I）求证：BG/平面AAE；（II）求直线M与平面AAE所成角的正弦值.【分析】（I）根据正方体的性质可证得BG明，再利用线面平行的判定定理即可得证:(II)解法一：以A为原点，AD.A8、,分别为X、y和Z轴建立空间直角坐标系，设直线AA与平面ADlE所成角为。，先求出平面4。IE的法向量相，再利用Sine=
11、ICosH|以及空间向量IMAA11数量积的坐标运算即可得解.解法1：设正方体的棱长为2a,易知SMD=22,结合勾股定理和余弦定理可求得cosE4A=噜，再求得S.纳=gAAAEsinNEA；设点A到平面E4。的距离为从根据等体积法匕曲目=匕一小,，可求出/?的值，设直线A4,与平面AAE所成角为6,则SinO=人，从而得解.AiA1【解答】解：(I)由正方体的性质可知，ABICQ中,且AB=GA,.四边形ABCa是平行四边形，.BCJAA,又8CU平面AAE,AAU平面ARE,.BQ/平面ARE.（三）解法一：以A为原点，AD.AB.AA分别为x、y和Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正
12、方体的棱长为,则A(0,0,0),A1(0,0,a),D1(a,0,a),E(0,-a),:.AA=(0,0,),AA=(,0,),AE=(0,a,a)设平面AAE的法向量为m = (x,y,z),则如阴二, gp.mAE = 0a(x + z) = 0I ，a(y + -z) = O令z=2,则x=-2,y=-l,an=(-2,-1,2),设直线AA1与平面AAE所成角为。，则Sine=ICoSHm，AAI=-=-,ImAAIIa33故直线AAI叼平面AAE所成角的正弦值为;.解法二：设正方体的棱长为为，则叫=2缶，AE=A,ED=3a,SMC=殳Q=2,由余弦定理知，cosZE4D1 =A
13、D； + A：2 - EH 8/ +5/ -邮 _ 102ADrE22j2a.5a 10.小八310., sin NEADl = 埼 ,S EAA = AD1 AEsin ZEDl =3a2设点A到平面EAA的距离为力，A1-EAD1 =%”1,-2 ICC 214-n3a = -2a2a .n = -a ,3334h Ia 2 设直线AAI与平面AD1E所成角为。，则Sine =金一=4 .A4, 2 3故直线M与平面AAE所成角的正弦值为:.【跟踪训练2-1】（2020山东）如图，四棱锥尸-ABCD的底面为正方形，P）_L底面ABC.设平面QAO与平面尸BC的交线为/.（1）证明：/_!_
14、平面PDC；（2）已知PD=4）=1, Q为/上的点，求PA与平面Qa）所成角的正弦值的最大值.【分析】（I）过P在平面Q4O内作直线/A0，推得/为平面FAO和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）以。为坐标原点，直线A4,DC，OP所在的直线为“，y,Z轴，建立空间直角坐标系。-型，设0（0,m,1）,运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基木不等式可得所求最大值.【解答】解：（1）证明：过P在平面E4D内作直线/AD,由4)BC,可得/8C,即/为平面EAO和平面PBC的交线,Pz)J_平面ABCr，BCU平面ABCf,PDLBC，又BC工CD,CORP。=。，.CL平面Pc),IHBC，.L平面PC。；(2)如图，以。为坐标原点，直线D4,DC,OP所在的直
