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1、特殊三角形的存在性问题1、等腰三角形存在性问题（一）例题讲解例1.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,且AC=12,BD=16,E为AD的中点，点P在BD上移动，假设APOE为等腰三角形，那么所有符合条件的点P共有个.（二）课堂练习1.操作：在AABC中、AUBu2,NU90,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点。处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线4C、CB于D、E两点，图是旋转三角板得到的图形中的其中三种.探究：1三角板绕点P旋转，观察线段外和性之间有什么大小关系？它们的关系为，不必写出证明过程.本问1分）2）三角板绕点P旋转，联能否成为等腰三角形？假设能，
2、指出所有情况即求出户维为等腰三角形时线段宦的长；假设不能，请说明理由.本问4分3假设将三角板顶点放在斜边上的附处，且4C於1：为大于1的整数，和前面一样操作，试问线段物和处之间又有什么大小关系？仿照图、图、图的情况，请选择一种，写出证明过程.本问总分值3分，仿照图得1分、仿照图得2分、仿照图得3分；图供操作、实验用.2. ： 在直角坐标系XOy中，边D 轴上. OCA的顶点C0在第一象限，顶点4在大轴的正半,OC = AC1 Nq = 20、现有两动点P, Q分别从A,甫。以每秒 Lr单位暄速麻SoC向点艇动，点。以每秒3个单位的速度沿AO-动，当其中一个点到达一2.寸，另一个点也随即停止.件
3、的点D的坐标;1求在运动过程中形成的AOPQ的面积S与运动的时间，之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围;2在等边AOAB的边上点4除外存在点O,使得AOCO为等腰三角形，请直接写出所有符合条B3.如图，在直角梯形OABC中，OACB,A、B两点的坐标分别为A15,p，B（/1（12，动点P、Q分别从0、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿QBC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D,交AB于点E,射线QE交X轴于点F.设动点P、Q运动时间为t单位：秒.1当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；
4、2当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；3当t为何值时，APQF是等腰三角形？请写出推理过程.4 .：如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6.0A、OB的长是关于X的方程-7+12=0的两个根，且0A0B.求COSNABC的值;假设E是工轴正半轴上的一点，且SoE=与，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断AOE与DAO是否相似，同时说明理由；点M在平面直角坐标系中，点F在直线AB上，如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，请直接写出F点坐标。此问与等腰三角形的存在性问题一致）5 .（2013绵阳如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为0,Ty-2，交X轴于A、B
5、两点，其中A-1,0,直线I:x=mm1）与X轴交于D0471求二次函数的解析式和B的坐标；/2在直线I上找点PP在第一象限，使得以P、D、B为顶出/卜Cx点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似，求点P的坐标用含m的代数式|表示；3在2成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使ABPQ是以P为直角顶点的等2）当点P在线段OB上运动时，直线I分别交BD,BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。T3当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使aBDQ为直角三角形，假设存在，请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由。
6、7、2013宁波如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为0,4，点B的坐标为4,0，点C的坐标为-4,0，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P,D,B三点作。Q与y轴的另一个交点为E,延长DQ交。Q于点F,连结EF,BF.1求直线AB的函数解析式；2当点P在线段AB不包括A,B两点上时.求证：ZBDE=ZADP;设DEk,DF=y.请求出y关于X的函数解析式；3请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1?如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由.8、如图，：矩形/员代6,酢4,点。从点8出发在边
7、8C上以每秒2个单位的速度向点C运动，过点P作射线P心BC交4?于点Af,同时点。从点。出发沿射线掰以每秒6个单位的速度运动，当点P到达点。时，所有点均停止运动.在整个运动过程中，取力的中点E以在为直角边在射线朗的右侧作RtZ0EE使两直角边之比为3:4即0R上3:4，设运动时间为七秒.(1)当点尸在办上时，求出此时亡的值.求出。厂经过点。时亡的值.(3)设直角三角形。区与矩形/箔，重叠局部的面积是S,求S与t之间的函数关系式.(4)直接写出。外为等腰三角形时亡的值.的中点，求整个运动过程中，椒所,扫过的面积.9.如图，在448C中，AB=AC=Wcm18C=16cm,PF=4cm.动线段国端
8、点。从点8开始)沿仍边以1cms的速度向点C运动，当端点f到达点C时运动停止.过点f作EFAC玄M于点尸(当点E与点C重合时，)与7重合)，连接，E设运动的时间为2秒”20).2、直角三角形存在问题（一）例题讲解例1.如图，抛物线y=02+公一3与X轴交于A,8两点，与y轴交于点C,且OB=OC=30A.（I求抛物线的解析式；II探究坐标轴上是否存在点尸，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出P点坐标，假设不存在，请说明理由；III直线y=-gx+l交），轴于。点，E为抛物线顶点.假设NDBC=,NCBE=0,求a-0的值.（二）课堂练习1.如图，直角梯形/8切中，AD/
9、BC.Z=902,AB=2cm,BC=9cm,DC=3cm1点、P是线段ABBP为xcm,aM的面积为丹ml求4。的长;2求V与X之间的函数关系式，并求出当X为何值时，y有最大值？最大值是多少？3）在线段/8上是否存在点只使得AQCO是直角三角形？假设存在，求出X的值；假设不存在，请说明理由.3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点使幺C为宜角三角形?假设存在，求出所有符合条件的点夕的坐标;假设不存在，请说明理由.3.如图，二次函数）=!/+如+1的图象过X轴上点彳!,0和点瓦且与V轴交于点6221求此二次函数的解析式；2假设点P是直线NC上一动点，当NO注90时,求点P坐标.3假设点P在过点C的直
10、线y=kx+b上移动，只存在一个点P使No峰90,求此时这条过点C的如图2,假设抛物线G的顶点为黑点为线段端上一动点（不与点队5重合），砌，轴于从请求出PC+PN的最小值.相似三角形的存在性问题（一）例题讲解例1.如图1,抛物线的顶点为A2,1，且经过原点0,与X轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；假设点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以0、CkD、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接0A、AB,如图2,在X轴下方的抛物线上是否存在点P,使得aOBP与AOAB相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由。（D求抛物线的解析式.2过尸点作平行于X轴的直线PC交y
11、轴于。点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交X轴于A点，交直线PC于8点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形QABC.是否存在点Q,使得aOPC与APQ3相似？假设存在，求出。点的坐标；假设不存在，说明理由.如果符合2中的。点在X轴的上方，连结OQ,矩形QASC内的四个三角形XOPC,XPQ,NOQPQk之间存在怎样的关系？为什么？2 .如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。折叠CE=5卮且IanNED4=3。41判断AOCO与440E是否相似？请说明
12、理由;2求直线CE与X轴交点P的坐标;3是否存在过点D的直线/,使直线Zx直线CE与X轴所围成的三角形和直线/、直线CE与V轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。3 .在平面直角坐标系Xoy中,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与X轴交于A5两点1点A在点B的左边，与)，轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(3,12).1求此二次函数的表达式；C2假设直线/:y=kx(k0)与线段BC交于点D不与点8C重合，那么是否存在这样的直线/,使得以3,0,。为顶点的三角形与叫!C相似？假设存在，求出该直线的函数表达式及点。的坐
13、标；假设不存在，请说明理由；3假设点尸是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比拟锐角NPCO与NACO的大小不必证明，并写出此时点P的横坐标巧,的取值范围.X夕4 .如下图，抛物线y=V-1与X轴交于A8两点，与)，轴交于点C./1求4B、C三点的坐标.Tj-2过点彳作缈交抛物线于点只求四边形彳户的面积./3在X轴上方的抛物线上是否存在一点Af,过作AfGLX轴于点g/使以A形与AM4相似.假设存在，请求出的点的坐标；否那么，请说明理由.5.：如图，在平面直角坐标系中，ZSABC是直角三角形，ZACB=90,点4C的坐标分别为A(-3,0),3C(LO),tanZBAC=-.41求过点48的直线的函数表达式；2在工轴上找一点。，连接。8,使得aADB与aABC相似不包括全等，并求点。的坐标；3在2的条件下，如尸，。分别是46和AO上的动点，连接P。，设AP=OQ=m，问是否存在这样的加使得44PQ与44)3相似，如存在，请求出相的值；如不存在，请说明理由.两点，与y轴交于C(0, 2),连接AC、BC.7.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与X轴交于A(1,0)、B(4,(1)求抛物线解析式;(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式;(3)假设点P在抛物线的对称轴上，且NCPB=NCAB,求出所有满足条件的P点坐标.备用图
