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1、案例二一精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一空间直线的向量参数方程给定一个定点A和一个向量。，再任给一个实数f,以A为起点作向量AP=S，如下左图，这时点P的位置被完全确定，向量方程通常称作直线/以f为参数的参数方程，向量。称为该直线的方向向量。如上右图，0P=0A+4P=QA+S，假设在直线/上取4B=,那么式可化为丽=苏+/筋=5Z+(无-5%)=(l)X+f丽，或或都叫做空间直线的向量参数方程。和的推导依据的是向量加法的三角形法那么。知识点二用向量方法证明平行关系。(1)设直线4和4的方向向量分别为匕和打，那么由向量共线的条件，得/J/4(或4与/2重合)V1/V2O(2)两个非零向
2、量，匕，岭平面。共面，一条直线/的一个方向向量为V,那么由共面向量定理，可得/或uo存在两个实数x,y,使V=孙+y%。(3)如果A,3,C三点不共线，那么点M在平面ABC内的充分必要条件是：存在一对实数x,y,使向量表达式前=X而+y成立。(4)两个不共线的向量匕，岭与平面。共面，那么由两平面平行的判定与性质，得。万或与重合=匕且匕。知识点三用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角(1)两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线/1、4的方向向量分别为匕、vI,那么有4_1.，2=9，岭。由上述条件，证明空间
3、两条直线4J1.可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明匕“2=0。(2)两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为6,当两直线平行时6=0。，当两直线垂直时6=90。，既不平行也不垂直的两直线所成的角。(0,90。)，所以空间两直线所成的角e0,90.如上右图所示，设直线/和，2的方向向量分别为匕和内,那么有COSe=COS|(匕v2O由式计算两直线的夹角的大小转化为求两直线的方向向量的夹角的大小的绝对值。注意直线的方向向量间的夹角与。相等或互补，所以上式右端有绝对值。典型例题分析题型1直线的方向向量与向量参数方程【例1】在空间直角坐标系中，设直线/经过点P(0,X),z0),直线/的方向向
4、量为6f=(AB,CXaBC0),M(x,y,z)是直线/上的任意一点，求x,y,z满足的关系式。解析利用直线的向量参数方程求点MP的轨迹。答案由题意可得：丽=(X-XO,y-%,Z-Z。)，因为是直线/的方向向量，所以x-x0=AA,allPM,所以有y-%=48,即2=匕&二三二为，所以满足题意的关系式为ABCZ-Zq=C,方法指导直线上一点和直线的方向向量，那么这条直线就是确定的直线，应用此法，我们也可以判定一点是否在直线上。【变式训练1】在空间直角坐标系中，设直线/经过点。(0,0,0),直线/的方向向量为。=(1,2,3),M(X,y,z)是直线/上的任意一点，求x,y,z所满足的关
5、系式。答案而,即=2=。123【变式训练2】设分别是直线4,4的方向向量，判断4的位置关系。(1) =(2,3,-1)/二(一6,9,3)；(2) a=(5,0,2),/?=(0,4,0)；(3) 7=(-2,1,4),b=(6,33)O答案(1)因为=(2,3,-1)/=(-6,-9,3),所以b=-3a,所以ba,即/J4;(2)因为“=(5,0,2)/=(0,4,0),所以b=O,所以a_1.h,即4JJ2；(3)因为4=(2,1,4)匕=(6,3,3),所以与b不共线也不垂直，所以4的位置关系是相交或异面。题型2平行关系【例2】如右图所示，在平行六面体ABCO-A1用G。中，。是耳。的
6、中点。求证：BC平面ODcl解析证明线面平行的关键是与。平行平面。Cl内的任意一条直线，即向量束被平面。G内的两不共线向量表示。答案设*=。,而=A前=C,因为5/8G为平行四边形，所以Ae=C-I,又。是qA的中点，所以布=J(a+b),西=话一m=g(+)=g0-)因为。QGC所以而=c。所以OD-ODl+DD=(b-a)+CO设存在实数x,y,使3C=xQf)+)OCll(x、R)成立，那么(x+y)=l,1 JC,因为,b,c不共线，所以一(x-y)=O,所以g,即而平面G0方法指导本例是立体几何中平行位置关系的证明题。我们给出了应用向量运算证明的方法，虽然证明过程书写较长，但因不用添
7、加辅助线所以减少了思考时间。【变式训练3】正方体QABC-QAgG的棱长为1,E是Ga上的点，且GE=1七,/是Ca上的点，且Gb二g尸。证明：EF平面ABG。答案建立恰当的空间直角坐标系，如图，那么b(i,i,o)a(i,oj)c(o,u)由于声=(o-,-!,踵=(0,1,1)=3而，所以后7/布，.方平面AIBG,又EFa平面33JA3C,故EF平面A/G。题型3垂直关系AC的中点，PR【例3】如以下图，空间四边形OA6C中，M为Be的中点，N为为04的中点，。为。8的中点。假设AB=OC,求证：PM工QN。解析要证明线线垂直，可以转化为两条直线对应的方向向量垂直，进一步可转化为两个方向
8、向量的数量积为零。答案设厉=,5=b,5=c.PM.0V=-(-a+b+c)a-b+c)=c2)。又AB=OC,所以AB=OC,所以PMQN=O,所以丽_1丽，即PMj_QN。规律总结由于此题中出现的几何体是一个不很特殊的四面体，所以此题证明方法用的基向量证明方法，也就是说，选择交于一点的三条不共面的线段所在方向向量为空间一个基底，其他向量都用它们来表示，然后，通过向量的运算得到结论，从而，原问题得到解决。此题中的几何体没有出现过一点且两两垂直的三条线段，所以最好不用坐标向量来证明。【变式训练4】在正三棱柱A8C-A3G中，与C1.A1B,求证AGl48答案-BlClAlBy.BCA=O,即翩
9、+砌(丽+而)=0。-BB11AiBl,BB1VBC,.式化为网2+前.丽=0,即网2一|丽网cos60o=0,。而AGAB=(A4,+ACjV+A8j=-4A+A,CiAB=-X2+IIAcos60o,由于ABC-AI与G是正三棱柱，对照式可知近福=0,故ACiIAlBo【例4】如以下图，在四棱锥P-ABCD中，底面A88是正方形，侧棱PO_1.底面488,PD=DC,E是PC的中点，作EFJ_P8交PB于尸，证明：(1)直线PA平面ED8；解析建立恰别为X轴、y轴、z答案设n(1).七是PC的(2)直线PB，平面石尸。当的空间直角坐标系，用坐标向量求解。以OAoCoP所在的直线分轴建立如右
10、图所示的空间直角坐标系。PD=DC=2,那么得以下各点的坐标，O(0,0,0),A(2,0,0),8(220)C(0,2,0),P(0,0,2)。中点，E(O,1,1)VAP=(-W),DE=(0,1,1),BE=(-2,-1,1),.AP=DE+BE。又PAa平面EOB,.PA平面七08。丽=(-2,2,2),又丽5=(-2,-2,2)(0,U)=O,BPDE,:.BP.1.DE,又BP1.EF,且E/11OE=E,所以直线PBj_平面EF。方法指导由所给几何图形的特征，此题宜采用坐标向量求解。要证明直线总平面EDB,不但要证明西平面EDB,而且还要交代直线PA在平面EOB外。要证明线面垂直
11、，只要转化为证明线线垂直，进而转化为对应直线的方向向量数量积为零，最后不要忘记交代平面内两条直线相交。【变式训练5】在正方体AB-CO-A1qGA中，瓦户分别是棱ARBC的中点，试在棱3片上找点M,答案如右图建立空间直角坐标系。-孙z,设正方体的棱长为2,那么E(2,l,0),F(l,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2)。M(2,2,m),那么而=(一1,1,0),瓦X)Il2),丽=(2,2,m-2)。.RMJ.平面E/B,D1MIB1E,.RME/=O且AM4E=0,于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,故取的中点为M就能满足DM，平面EFBl。题型4异面直线所成角【例5】
12、四棱锥PABCO中，PZX1.平面ABCD,PA与平面ABcD所成的角为60,在四边形ABCD中，ND=NDAB=9伊,AB=4,CD=kAD=2,求异面直线PA与3C所成角的余弦值。解析用坐标向量求解。答案以点。为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系。由Poj_平面ABCo,得NPA。是PA与平面ABCD所成的角，NPAO=60。在RPD4中，由AD=2得PD=26于是p(A23)(2,0,0),8(2,4,0),C(0,1,0),.PA=(2,0-23BC=(-2-3,0),PABC-413网网41313.PA与BC所成角的余弦值为O规律总结要求两条异面直线所成的角，首先建立恰当的空间
13、直角坐标系，求出两条异面直线所在的方向向量，然后求出两个向量央角的余弦值，最后转化为两条异面直线所成的角，这里要注意的是，向量所成角的范围是0,乃,而异面直线所成角的范围是O,。假设最后用向量法求出两向量所成的角角。故此题答【变式训E,尸分别是的余弦值。是钝角时，要转化为其补角，才可以作为两条异面直线所成的mlim历案7-C,而不7O1313练6】在长方体ABC。一ABIGA中,AB=4,BC=BB=2,面ABICQl与而BIBCCl的中心，求异面直线AE与BE所成角答案以。为原点建立空间直角坐标系，那么A（2,0,0）,3（2,4,0）,G（0,4,2）,A（2,0,2）,.E(1,2,2)
14、,F(1,4,1),AF=(-lAl),BE=(-l-2,2),/.AF=18=32,5E=9=3,AFBE=l-8+2=-5,.,.cos(aF,Be)=5232318.异面直线所成角的范围是（0,.A/与BE所成角的余弦值为O18规律方法总结(1)直线的向量参数方程,而=/而或而=(1一1加+1丽。由方程可确定点的位置，当，为一个定值时，点P在直线A8上的位置就确定了，利用直线的向量参数方程，假设A、8的坐标也，可求出点P的坐标，设出P(x,y,z),建立x、y、Z的方程，求出x、y、Z的值。利用直线的向量参数方程，可以证明三点共线。(2)两直线平行的充要条件,11山0%1凡，%、岭是4的方向向量，把证明两条直线平行转化为证明两个向量平行，在空间图形中证明488,即证明M=l而。(3)匕、吗是非零且与共面的两个向量，V是直线/的一个方向向量。/ou匕或V岭或v=xv1+yv2o这样证明直线/。转化为证明两个向量平行或三个向量共面。(4)匕、匕分别为/r4的两个方向向量，两直线垂直的充要条件：12v1
