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1、VS1.xHKtSNM空西W*W京昆育、夷角SRt1.*W5三f2：利用底霰孝生网肉包*9413：刎用型网用量成冬定理木彩先酒定库一、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共而，邨么对任：一个空间向量p,存在*一的有年实数1.(x,y,z),使得p=xa+f*zc.我们杷%,c叫做空冏的一个息底，f1.b,C都叫做息向量.二、空网向量的正交分解1 .单位正文基底如果空间的一个基底中的三个县向量两两至在，且长度都是I,师么这个县底叫做单位正殳基底.常用H.J,A)表示.如果三个向量.b.c不共面，坏么对任你一个空间向量存4唯一的有序实效姐(x.%)使得p=.w+2我们把,b,c叫做空间的一个基
2、底，.,C都叫做向量.2 .向芝的正殳分解由空间向量基本定理可知.对空网任一向量a均可以分解为三个向量此0.球使得4=W+.炉T1.像这样把一个空间向骨分解为三个两两至五的向量,叫做把空同向骨进忏正义分解.三、空间向量北本定理的应用I.求异而直投的失角：cos=I1.f,2,证明共线(平行)、共而、垂直同匙：(1)对于空间任两个向量a、b(bO),aHb的充要条件是存在实效兀tta=zh.2)加果两个向a.b不共找.那么向量P与向量a.b具面的充要条件是存在唯一的有年实效对(x.).使P=Xa+yb.(3)若a、b是非零向量，ia1bA.1G-bB.h+G-bC.ca+b、/0.422，a+b
3、a-b1-3.2024裔一下湖南,期末给出下列命题:若0,Z,c可以作为空间的-祖基，dc共线，a0,则。，氏力也可作为窗间的一组明：已知向量J9,则，J与任何向量都不能构成空间的一组基:AB.M,N是空间四点,若B,BM.BN不能构成空间的一组基，那么AB.M.N共面：已知Ar是空间的一组基.若=+乙则也，“也是空间的一组基.其中真命题的个数是().A.1B.2C.3D.414,（2024高一下湖南期末）已知。氏力是空间的一个基底.若pb=2ciC.r=+2-D.r2a+b+C彩售题淞相利用基度表示空间向:Ix用法底去示向IK时，着艇底确定，要利用向格加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以
4、及向价数乘的运算律进行化简：若没给基底,首先要选出基底再求解.2.用基底表示向量的步骤：（I）定票底：由已知条件，确定三个不共面的向盘构成空间的一个班底.（2）寻目标：由确定的基底表示目标向麻.潴要根据.角形法则及平行四边形法则，结合相等向屈的代换、向立的运算进行变形化简.（3）下结论：利用空间的一个基底S.b.c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有.b.c,不能含有其他形式的向量.2：利用鼻底衰示空间的量2-1.（2024:下江苏械州期中）如图，在平行六面体ABa）-A8。中，P是CA的中点，点Q在CA上,且CQ：QA=4:1,设a8=“，Db-A41.=3,则（）.-1_1.
5、O.QP=ci+b+c1010102-2.（2024i二下江苏盐城期中）在四面体O-AeC中,PA-2P。是SC的中点,且M为PQ的中点,，OA=aOB=bOC=c则Of=（）2D.1-C423.(2024高二上浙江丽水期末)在平行六面体V8-A4GA中，AC,8。相交于0M为OC的中点，设八8=，AD=bAA=C,则CM=A.-11+-fe-c44224(2024高二上福建泉州期末)己知四面体。一八HC,3是NHC的Hi心，G是OGf上，点,且OG=3GG/.若OG=AoA+vOB+2C,则（My,外为（）444J1.H）B.0.4,4,471.1113、3司（三）空间向置基本定理在几何中的
6、应用用空间向盘基本定珅斛决几何问题时需注意(I)若证明线线平行，只需证明两向吊共线.(2)若证明线战垂口，只需证明两向僦的数积为0.(3)若求#面H我所成的角，则转化为求两向此的夹角.(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模.*熨3：利用空间的本JtJK求泰效3工(2024高二卜云南阶段练习如图，在正方体ABCD-A禺GR中,E.尸分别为ARDp的中点,若EF=XDA+yDC+DDi,则x+W=.3-2.（2024尚:下江苏常州期中己知矩形ABeAP为平面A&7）外点，片口平面八成7）,点M,N满足PM=；PC,PN=-PD.11MN=xAB+yADZAP,则x+）+z=（）23A.-B.-
7、C.-D.12 263-3.（2024高三上安徽宣城,期末四极锥P-ABeT）中，底面ABeD是平行四边形，点E为梭尸C1的中点,若AE=XA8+）AO+AP,则X+y+2等于3 5A.-B.1C.-D.22234（2024,陕西一模）空间四边形ABcC中，八C与8。是四边形的两条对角线,M.N分别为线段八8.。上的两点，旦满足AM=W八BDN=-DC.若点G在线段MNjt,且满足MG=外可，若向从人匕满34足AG=xAB+yAC+2AD.则x+v+s=.MS4：利用空间向量率本定现证明位J1.关系4-1.（2024高二江苏课后作业已知空间四边形。WC中，ZOHZBOCZAOC,且（M=OS=
8、OC.W.N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点，求证：OGSBC.4-2.（2024高二江苏课后作业）如图，在平行六面体ABaX4,8CD中，八B=AD=A=1.,A1AB=ZA1AD=,RAD=6Q,求证；II线4C3平面B/）彷胡.4-3.(湖南省长沙市四校联考20232024学年高二上学期9月阶段考试数学试题)如图所示，三棱柱BC-,B,C1.CdCBh.CC1=c.CA=CB=CC1=I.(d.fc)=(d.r)=-y.=N是A8中点.用0,6,c我示向JfiiAN:在线段C圈上是否存在点M.使A1.A?若存在，求出M的位置.若不存在，说明理由.44(2024高二上全国专即练习已知
9、四面体中三组相对校的中点间的距离掷相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.己知：如图，四面体ABCO,E,F,G,H,K,Af分别为板ABC,CD,D,BD,Ae的中点，且|用=|卜|照必求证AB1.CD,C1.BID1.BC.5：利用型间向量鼻本走取率把白、夹角51.(2024高二上天滓髀海阶段练习如图所示，已知空间四边形A8CD的条边和对角线长都等于1.I点RF.G分别是A8.AD,CC的中点.设八8：“，CbD-AAi=C.(1)试用我示向fitMN:(2)ZfiAC=9Z4A,=ZCA,=6(J.AB=AC=A,=1.求MN的长.5-3.(2024高二上浙江杭卅期末如图.平行六面体AB
10、CD-At冰汨中,CB1.BD.ZC1CD=45o,ZCC1.=60.CC1-CB-B1.)-.求对角践CA的长度：求弁面出线CA1.jD4所成角的余弦值.回阪习与是升一、单选,1.(2024高二下安徵开学考试)已知四ftt)-WC.GVAfiC的重心,P是线段OG上的点,且OP=2巾.若CP=XcA+yOB+IOC.则(x,y,z)为()2. (2024高二上JX宁期末己知“.是空间的一个基底,则可以与向玳ZMd+2,=构成空间另一个基底的向量是()A.2a2b-CB04frcC.h-cD.d-2b-2r3. (2024高二上山东荷泽阶段练习对于空间任感一点。和不共战的三点A8C有如下关系：
11、OP=-O+-OB-OC.贝I()632.A8C四点必共面C. QP.BC四点必共面B.AABC四点必共面D. OA8,C五点必共面4. 12024高二上全国.课后作业）已知8ABU84为三条不共面的境段，若AG=XA8+2yBC+3zGC,加么x+y+z=（）A.1B.2C.工D.H6665. （2024ft二上广东揭阳,阶段缥习）如图，M是四面体CMBC的梭8。的中点,点N在线段QA，上，点，在规段AN上，旦MV=J。，AP=-AN,用向fQAOB，OC我示。P，则OP=（）24A.-OA+-OB+-OC444C.O-OBOC.-OA-OB-OC444D.-OA+-OBOC4446. （2
12、024高.：全国课后作业）已知直观AB,BC,/珥不共面，若四边形88Ce的对角线互相平分，且AC1=AB+2）BC+32CCi,则K+）+Z的伯为（）A.1B.IC.ID.H6367 .（2024福建福州三模）在三棱锥。川8（?中，点。为AABC的空心,点、D,户分别为恻梭A.PB,PC的中点，若“=AFh=CE-=8/）,则。P（）8 .（2024高二,全国课后作业）已知”，人；,是不共面的三个向瓜，则能构成空间的一个基底的一组向JItA.34a-ba+2hBIbb-2ah+2uCa，2hbcDc9acc-c9 .（2024高：下河两开封期末）柠4.构成空间的一个基底.则下列向量可以构成空间基底的是（）A.a+b.a-b,aB.a+ba-b
